第二十章曲线积分 第二十章曲线积分 §1第一型曲线积分 1.计算下列第一型曲线积分 (1),(x+y)ds,其中L是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三 角形 (2(x2+y3b,其中L是以原点为中心R为半径的右半圆 周; (3).xyxs,其中L为椭圆2+y2=1在第一象限中的部分; 1y14,其中L为单位圆r2+y2= L (5)(x2+y2+z2)ds,其中L为螺旋线x=aost,y=asnt z=bt(0≤t≤2)的一段 (6),xyb,其中L是曲线x=t,y=专√2?,=2a2(0≤ t≤1)的一段 ()J√2+2,其中L是x2+y2+x2=n2与=y相交 的圆周 解(1),(x+y (x+y)ds+(x+y)ds+」(x +yds
81第一型曲线积分 1+√2 (2)右半圆的参数方程为: Rin.(-5≤0≤5) 从而 R2d0= R2 b 从而 b 1+ydz 6222 rva r2 dr b√a4-(a2-b2)xdx2 (4)由于圆的参数方程为:x=cos0,y=sin0.(0≤0≤2x),从而 sindo 4 (5),(x2+y2+z2)d=(a2+b2t2)√a2+b2a =x(3a2+4x2b2)√a2+b2 (6),xyxd=|t·令√23:-t21+2t+t2d t2(1+tdt 527
第二十章曲线积分 (7)其截线为圆2y2+x2=a2,其参数方程为x=y Int,z = acost,(0≤t≤2m) √2y2+z2a t+a2 cos2 = 2求曲线x=a,y=a,x=3a2(o≤t≤1,a>0)的质量, 设其线密度为P=√ 解曲线质量为 2t2 dt 号1+24(1+2)=号(2/2-1) 3.求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cst)(0≤t≤x)的重心, 设其质量分布是均匀的 解因d=√(4-wt)2+amnt=2imd dt 4 故重心坐标为 t=mpoa(- sint)2a sin 2dt 2 tsin ndt-asintsin tdt =- atoms</r +alcs六dt+ (∞32 s Poa(1-cost )2asin dt
81第一曲线积分 dt (sin g t 4.若曲线以极坐标p=p(0)(01≤0≤02)表示,试给出计算 f(x,y)ds的公式,并用此公式计算下列曲线积分 (1),e+)d,其中L为曲线p=a(≤0≤x)的一段; (2),xd,其中L为对数螺线p=a(x>0)在圆r=a内的部 解因L的参数方程为x=p(0),y=p(0)sn(61≤0≤a2)且 d=√(m)2+()2d=√p(0)+p2(0)d t, (r,y)ds=f(P(0) os0, P(0 )sine)v2(0)+p2(0)d0 /2,2 (1),e ea√a2+0d0 (2),s=acas·√a2e2H+a2k2e2bd0 =a21+k2c2.a=4kn21+k2 4k2+1 5证明:若函数∫在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(a≤t≤P) 上连续,则存在点(x0,y0)∈L使得,,f(x,y)d=f(x0,y)△L 其中△L为L的长 证明由于∫在光滑曲线L上连续,从而曲线积分」,∫(x,y)s 存在,且 f(r,y)ds=f((t),y(r))vr2(t)+y2(t)dt 又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以 fx(t),y()与√x2(t)+y2(t)在[a,B]上连续,由积分中 529
第二十章曲线积分 值定理知:彐to∈[a,β]使 a(t),y()√x2()+y2(2)d =几x(o,t)]1z()+y2(d f[x(to),y(to)]·△L 令 (t0),显然(x0,y0)∈L且 f(x,y)ds=f(xo,yo)·△L s2第二型曲线积分 1.计算第二型曲线积分: (1).xy-yx,其中L为本节例2的三种情形 (2)(2a-y)dx+b,其中L为螺线x=a(t-sm1,y=a(1 cot)(0≤t≤2)沿t增加方向的一段; (3y 二+yy,其中L为圆周x2+y2=a2,依逆时针方向 L (4),ydxz+ sindy,其中L为y=snx(0≤x≤)与x轴所围 的闭曲线,依顺时针方向; (5)xdx+yxy+xd,其中L为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段 解(1)若积分沿抛物线OB:y=2x2,且dy=4xd 2 若积分沿直线OB:y=2x,且dy=2dx则 rdy odx=(2x-2x)dx=0 若积分沿折线OAB,OA:y=00≤x≤1,AB:x=1,0≤y≤2