第十章定积分的应用 第十章定积分的应用 s1平面图形的面积 1.求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积 解两曲线的交点是(-1,1),(1,1),所以所围的平面图形的面 积为 S=[(2-x2)-x2]dx= 2.求由y=|nx与直线x=1,x=10,和x轴所围图形的面 A S=IInx i dr=,-Inxdr+Inzdx (ahx-x)+(hx-x)|=010-8 3.抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分,求这两部分面积 之比 解抛物线y2=2x与圆x2+y2=8的交点P(2,2),Q(2,-2), 抛物线y2=2x把圆分成两部分,记它们的面积分别为A1、A2,则 A1=8-3-)=8B-号=3+2x A2=8r-A1=8 4 2x=6x A 2π+ 故A26x-3
§1平面图形的面积 4.求内摆线x=as3t asin2t(a>0)所围图形的面积 解S=412asin2(ax2t)tl 423a2sin'toos tdt .求心形线r=a(1+00s)(a>0) 图10-1-4 所围图形的面积 解r=a(1+csa)(a>0)是心脏线,其 参数方程为 JI=a(1+cos0)cos0 y=a(1+∞s)sin0≤0≤r 则 S=i a(1+as0)sin[a(1+aB0)B0 Jao I 图10-1-5 6求三叶形曲线r=asin30(a>0)所围 图形的面积 解所求的面积为 S=6 aisin 3000= 7.求 1(a,b>0)与坐标轴 所围图形的面积 图10-1-6 解曲线与z轴交点为(a,0),与y轴交点为(0,b),y=[√b-
第十章定积分的应用 x]2,所以所求面积为 a)2z=6(-√a)d 2ab(1-t)2udt 8.求由曲线x=t-t2,y=1-t4所围 图形的面积 解当t=-1,1时,x=0,y=0.故当 t由-1变到1时,曲线从原点出发到原点,构 成了一个封闭曲线围成的平面图形,故 I y(t)lx(t)dt (1-t1)(1图10-1-8 3t2)d (1-t4-3t2+3t)dt 9求二曲线r=sn0与r=√3s0所围公共部分的面积 图10 图10-1-10 10.求椭圆2+y2=1与2+y2=1(a>0,b>0)所围公共 部分的面积(图10-7)
§2由平行截面面积求立体体积 解图形关于两坐标轴对称,故只须求第一象限的图形面积在 第一象限内,解得交点为(ab/√a2+b2,ab/√a2+b2),又根据对称 性,所求面积S=8S1,其中 x)da sim. 1_a2b2 2a2+b2 arcsin-6 所以,S=4 abasin 2+b2 §2由平行截面面积求立体体积 1如图10-13所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积 解如图所示建立直角坐标系,则椭圆柱面的方程为 101 1,斜面的方程为Z=2用平面x=t截这个立体,得一长方形,其边 长是 所以A(x)=4x1 从而 2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积 (1)y=sinx,0≤x≤π,绕x轴 (2)x=a(t-snt),y=a(1-∞ost)(a>0),0≤t≤2x,绕x 轴
第十章定积分的应用 (3)r=a(1+∞s0)(a>0),绕极轴; (4) 1,绕y轴 解(1)V=rsin2adz 至」(1 2[x-2m2= (2)V=r a2(1-cos)dla(t-sint) a2(1-cost )3di oSt)dt =52a3 (3)r=a(1+cs0)(a>0)是心脏线,而 a(1 (1+cos0) 是心脏线极轴之上部分的参数方程, v=I Tydr 1-12.ydr ra (sin 0+2sin0oos0+sin 0co20)(1+2c0s0) (4)原方程可写成y=b√1-x2a2,所以 62 m2(1-2)ldr 3已知球半径为验证高为h的球缺体积V=m(”-3 254