第十七章多元函数微分学 第十七章多元函数微分学 §1可微性 1.求下列函数的偏导数: (1)z=x2y;(2)z=yosx;(3)z= (4)z= In(x2+y);(5)z=e; (6)z= arctan i (7)z=xyk(x);(8)u=y+- (9)u=(xy)2;(10)u=xy Ao (1)z2=2xy, zy=x(2),=-ysinz, zy =cosx (3)zx2= (x2+y2)3 (4)z2 (5) r+y (6) 1 (7) in(ry)+rt ein(ry)oos(ry)=[1+ mycos(xy)lye [1 t lycos(ry)]xe sin(ay) 1 x(ry)-,ux=(ry)ln (xy) (10)ur=yx,uy=xy x Inc,u2=yry.r Iny 设f(x,y) 求f2(x,1)
81可微性 解因为f(x,1)=x所以(x,1)=只(x,1)=1 x2+y2≠0 f(x, y) +y2=0 考察函数f在原点(0,0)的偏导数 解由于 m0+△x0)-f(0,0)=m△z=0 0-0 f(0,0+△y)-f(0,0) 所以∫(x,y)在原点关于x的偏导数为0,关于y的偏导数不存在 4.证明函数z=√x2+y2在点(0,0)连续但偏导数不存在 (x,y)+(0,0) /x2+y2=0=z(0,0) 所以函数z=√x2+y2在点(0,0)连续 由于当△x→0时 △x,0)-z(0,0)y(∠ △ 极限不存在,因而z(x,y)在点(0,0)关于x的偏导数不存在 同理可证它关于y的偏导数也下存在 5.考察函数 fc 在点(0,0)处的可微性 解由偏导数定义知 f,0)=mf(+△x,0)-f(0,0)=m△xs0
第十七章多元函数微分学 同理可得fy(0,0)=0 由于 △f-f2(0,0)△x-f2(0,0)△y (△x)2+(△y)2 x)2+(△y)2 (△x)2+(△y) 十 √(△x)2+(△y)2→0((△x)2+(△y)2→0) 所以∫在点(0,0)处可微 6.证明函数 Kx,y)-1=+y,x2+y≠0 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微 证因为 ,从而 =0=f (0,0) 所以,f(x,y)在点(0,0)连续 由偏导数定义知 f(0,0) f(0+△x,0)-f(0,0) lim 0-0 =0 同理f(0,0)=0 所以,f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在 但602=02=(计(△ 考察(△z)2·△ x)2+(△212,由于当△x=△y时其值为,当 △y=0时其值为0 430
§1可微性 所以(4)+(△少不存在,故f(x,y)在点(0)0不 (△x)2·△ 7.证明函数 1 x2+y2≠0 0 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而∫ 在原点(0,0)可微 证 0=f(0,0) 因此∫在点(0,0)连续 ≠0时 f(x, y)=2xsin 0时 ∫2(0,0)=lmf(0+△x,0)-f(,0) lim△ 0 但由于lim2xsin 而 不存在(可考察y=x情况) 此当(x,y)→(0,0)时,2(x,y)的极限不存在从而f(x,y) 在点(0,0)不连续同理可证f(x,y)在点(0,0)不连续然而 △f-fx(0,0)△x-f(0,0)△ (△x)2+(△y)2 △x)2+(△y)2 所以∫在点(0,0)可微且df1(0.0=0
第十七章多元函数微分学 8.求下列函数在给定点的全微分; y4-4x2y2在点(0,0),(1,1) (2)z=2-在点(1,0),(0,1) 解(1)因 在(0,0)连续 从而z在(0,0)可微由z2(0,0)=0,zy(0,0)=0得dz10.0=0.同 理z在(1,1)由z2(1,1) 4,z,(1,1)=-4得dxl(1,y =-4(dx+dy) (2)因zx x2+3yz在(,0)0,1)处可 微且由x(1,0)=0,z(1,0)=0得dzl(n,0=0 由z2(0,1)=1,z2(0,1)=0得dzl(o,)=dr 9.求下列函数的全微分; yin(t +y ft(1)dx= yoos(x+ y)dx+[sin(x+y)+ yoos(x+ y)]d3 (2)du =e"dr+(zze"t+1)dy+(ryet-e)dz 10.求曲面z= arctan y在点(1,1,)处的切平面方程和法线方 程. 解由于z在(1,1)处可微,从而切平面存在因为 (1,1) (1,1) 1 所以切平面方程为 即 法线方程为x 1=y1-x 432