§1数列极限概念 第二章数列极限 s1数列极限概念 n=1,2,…,a=0 (1)对下列E分别求出极限定义中相应的N: e1=0.1,e2=0.01,E3=0.001 (2)对e1,e2,e3可找到相应的N,这是否证明了an趋于0? 应该怎样做才对? (3)对给定的e是否只能找到一个N? 解(1)当日1=01时,要使|a1-01=1+(=D≤2<0.1 只要取N1=20 同理,当e2=0.01,E3=0.001时,只要取N2=200,N3=2000即可 (2)没有证明1+(-1)趋于0,正确的做法应该是 对ve>0,都能找到相应的N才行.即由a-01<2<E求 得N=[2]+1,这时才能下结论:1m1+(-1)=0 (3)对给定的e若能找到一个合适的N,那么一切大于No的正整 数都可以作为定义中的N,所以有无穷多个N 2.按E-N定义证明 (1)=mn1=1(2)lm2n+1=2(3)=mam=0 (4)Imsin I=0 (5)lim m=0(a>1) 证()1图为n1-1=n1<1所以对于任意的>
第二章数列极限 取N=[]+1则当n>N时n1-1<e,所以如n十1=1 (2)因为 3 n t 2n 2n2-1 2(2n2-1)< 2(2n2-1) 2n2n<n1(n>2)所以任给e>0,取N=mmx211+1, n 3n2 当n>N时有21-2<e,故lm3n2+n。3 (3)因为1n!-01=1.2.3.….n≤1,n=1,2 n 从而对任给的e>0,取N=[]+1,则当n>N时, 0|≤<e,所以lin 0. (4)因为snx-01<<4,所以任给e>0,取N=[4]+1, 当n>N时有|sin-01<c,所以 limin 2t=0 (5)因为a>1,令a=1+λ,(λ>0),则a”=(1+入)n =1+n+n(n-1)x2+…+>n(n-1)2 n (n-1)入2(n-1)x2 对任给的e>0,取N=[2+1],当n>N时, n n <e,所以limn=0. 3.根据例2,例4,例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小 数列 (1)lim:(2)lim 3(3)lin m3 (4)lim 1. (6)limy10(7)
§1数列极限概念 解根据例2Im1=0(a>0),知:(1),(3)为0 根据例4limg”=0(1q1<1)知:(4),(5)为0 根据例5ima=1(a>0)知:(2),(6),(7)为1 其中(1),(3),(4),(5)是无穷小数列 4.证明:若 lima=a,则对任一正整数k,有 lima+k=a 证明若 lima=a,则由定义知:任给e>0,存在N,当n>N 时,|an-a|<e.于是当n>N时,n+k>n>N. 所以|an+k-a1<e,故iman+k=a 5.试用定义1证明 (1)数列{11不以1为极限:(2)数列{n()}发散 解设{an}是一数列,a是确定的数,若彐c0>0,对N>0, 总彐n0>N,使得|an-a|≥E0,则a不是{an}极限 (1)对于常数1,30=5>0,v自然数N,总3n0=N+1>N 使得11,-1=N1≥2,所以数列的极限不是1 (2)当n=2k时an=2k∴ lima=+∝ 当n=2k-1时 2k-1 ma 极限不存在,发散 6.证明定理2.1,并应用它证明数列1+(=1)的极限是1. 证充分性因为{an-a}是无穷小数列,于是由定义知:对任 意的正数e,一定存在自然数N,当n>N时,1(an-a)-0 an-a|<ε,所以 lima=a 必要性因为 lima=a,由极限定义知,对e>0,3自然数 N,当n>N时,1an-a|=1(an-a)-01<e
第二章数列极限 所以im(an-a)=0,即{an-a}是无穷小数列 因为11+(=1-11≤M且11是无穷小数列, 从而1+(-1)-1}是无穷小数列 故由定理21知,1是数列{1+ }的极限. 7证明:若iman=a,则im1anl=1a1,当且仅当a为何值时 反之也成立 证任给e>0,由 lima=a知:存在N,当n>N时, <e,故当n>N时|an|-1a a|< 所以lim|an|=|a 当且仅当,当a=0时,反之成立 8.按e-N定义证明 (1)lin(n+1-√n)= (2)lim1+2+…+ 0 (3) lima=1,其中 n为偶数 an|yn2tn,n为奇数 证(1)因为|√n+1-√n|= 所以任 √n+1+ 给e>0,可取N=[12]+1,则当n>N时,1√n+1-√n1 ,}=<e故lm(n+1-√n)=0 2)因为1+2+…+n|。n(n+1)≤nn=1,所以任给 e>0,可取N=[1]+1,当n>N时,1+2++≤1<e
§2收敛数列的性质 故lim 2+…+n (3)任给e>0,当n为奇数时,an-1=1Q2 mHn==1+<;当n为偶数时 11=,取N=[]+1,则当n>N时,有|an-1< 因此 lima=1 S2收敛数列的性质 1.求下列极限 (2)lm12 (3)mc2 (4)lim(√n2+n-n) (5)imn(1+2+…+y10)(6)Iim 1+ 解(1)原式= (2)原式=lm(12+2)=0 (一)+1 (3)原式=li (-2)·(-)+3 (0式=n+n如71