§1平面点集与多元函数 第十六章多元函数的极限与连续 S1平面点集与多元函数 1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域?并分别 指出它们的聚点与界点 (1)a,b)×[c,d);(2){(x,y)1xy≠0};(3)(x,y)|xy=0 (4)(x,y)|y>x2};(5)(x,y)x<2,y<2,x+y>2}; (6)(x,y)1x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}; ≤1,或y=0,1≤x≤2 (81(x,y)1x,y均为整数1;(9)(x,y)1y=n1,z>0 解(1)经判定可知该点集是有界集,也是区域但既不是开集又 不是闭集.其聚点为[a,b]×[c,d]中任一点.界点为矩形 [a,b]×[c,d]的四条边上的任一点 (2)该集为开集,不是有界集也不是区域,其聚点为平面上任一 点其界点为两坐标轴上的点 (3)该集为无界闭集,不是开集不是区域,其聚点为坐标轴上的任 点,而界点与聚点相同 (4)该集为开集且为区域聚点为满足y≥x2上任一点界点为 =x2上的所有点 (5)该集为有界开集聚点为开集内的任一点和任一界点界点为 直线x=2,y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点 (6)该集为有界闭集聚点为集中任一点,界点与聚点相同 (7)该集为有界闭集聚点为集合{(x,y)1x2+y2≤1或y= 1≤x≤2}中的所有点界点为聚点中除去x2+y2<1的部分 (8)该集为闭集没有聚点界点为集合{(x,y)1x,y均为整数} 395
第十六章多元函数的极限与连续 中的全体点 (9)该集为非开非闭的无界集聚点为点(0,0)及曲线y=sn1 上的点界点与聚点相同 2.试问集合(x,y)10<1x-a|<δ,0<1y-b|<B}与集 合{(x,y)x-a<8,1y-b1<8,(x,y)≠(a,b)是否相同? 解给出的两个集合是不相同的.第一个集合挖去了两条线段 =a(y∈[b-8,b+8])及y=b(x∈[a-8,a+8]),第二个 集合只挖去了一个点(a,b) 3.证明:当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}CE,Pn≠P lim P=Po时,P0是E的聚点 证充分性若存在{Pn}CE,Pn≠Po,imPn=Po时,则对 任给的>0,总存在N,使得n>N时,有 Pn∈U(P0,e) 当n充分大时,U(P0,e)含有{Pn的无穷多个点.又{Pn}CE 从而U(Po,e)中含有E中无穷多个点这说明P0是E的聚点 必要性若P是E的聚点,则对任给的e>0,U(P0,e)中必 含有E中的点取e1=1,则U(P0,e1)中含有E中的点,取出一个, 记为P1 取,=灬1,P1-P01},则U(P0,e2)中也含有E中的点, 取出一个,记为P2 依次类推 取(n=mi1,1P1-Pn,…,1P=P0则Ur(n,) 中含有E中的点,取出一个,记为Pn 这样继续下去,得到一个各项互异的点列Pn}.易见Pn≠P0, PnCE,且imPn 4.证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真 396
81平面点集与多元函数 证设D为闭域,则有开域G使 D=GUaG (1) 其中∂G为G的边界.设P0∈D,则Po在G且P∈aG.由 P0∈G知:对任意δ>0,U(P0,8)∩CG≠,其中CG为G的余 集即关于R2的补集.由于P0∈aG,从而存在0>0,使 U(P0,δ)∩G=￠.下证 U(P0,80)∩aG=0 (2) 若不然,则存在P1∈U(P0,80)∩aG.于是当ε>0充分小时, U(P1,e)CU(P0,80).由于P1∈aG,从而U(P1,e)中含有G的点 Q.于是Q∈U(P0,δ)∩G.这与以上结论矛盾.因此(2)真由(1)知 U(P0,6)∩D=O 故Po不是D的聚点这就证明了:若P为D的聚点,则Po∈D 因此D为闭集 注以上证明中未用到G为开域.由此可知:对任一点集E E∪aE恒为闭集 5.证明:点列{Pn(xn,yn)收敛于P0(xo,y)的充要条件是 lim x=x0和limy 证必要性设点列{Pn(xn,yn)收敛于P0(x0,y),则对任给 的∈>0,存在N,当n>N时,p(Pn,P0)<e即 故|xn-x0≤√(xn-x0)2+(yn-y0)2<E(n>N) 从而 limx=x0 同理ir 充分性设 limx=xo, limy=y,则对任给的e>0,存在N, 当n>N时, 1xn-x01<e/2,|yn-y0|<e/2 因此√(xn-x0)2+(yn-x0)2<e(n>N)
第十六章多元函数的极限与连续 故点列{Pn(xn,y)收敛于P0(x0,yo) 6.求下列各函数的函数值 )(x,)=(mmx+),求124,123) (2)f(x,y)=22,求f(1,y); (3)f(r,y)=x2+y2-xytan,f(tr, ty) 1+√3 √3 arctan 解(1)八(2 arctan 1+√31-√3 arctan arctan (2)/1)2.1./y 2x2+y2x2+y2 (3)f(x,by)=12x2+2-2ytmn=2(x2+y2-om王 7.设F(x,y)= InrIny证明:若u>0,v>0,则 F(ry, uv)=F(c,u)+ F(a, v)+ F(y, u)+ F(y, v) 证因为F(x,y)= IncIny,且>0,v>0,所以 F(xy, wu)=In(ry). In(uv)=(Inz Iny)(Inu Inv) InrInu IncInv Inylnu Inylnu F(a,u)+F(r, v)+F(y, u)+ F(y, v) 8.求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种 点集 (1)f(x,y)=x2+ (2)f(x,y) (3)f(x,y)=√xy;(4)f(x,y)=
§1平面点集与多元函数 (5)f(x, y)=Inz+ Iny;(6)f(r, y)=sin(12+ y2) (7)∫(x,y)=ln(y-x);(8)f(x,y)=e(x2+y); (9)f(x,y) (10)f(x,y)=√R2-x2-y2-z2+ 解(1)函数的定义域为D={(x,y)1x≠±y},是无界开点集 (图16-1) 图161 图16-2 (2)函数的定义域为D=(x,y)12x2+3y2≠0}=R2 (0,0)},是无界开点集.(图16-2) (3)函数的定义域为D=(x,y)1xy≥0},是无界闭集(图16-3 (4)函数的定义域为D={(x,y)11-x2≥0且