§1含参量正常积分 第十九章含参量积分 §1含参量正常积分 1.设f(x,y)=sgn(x-y)(这个函数在x=y时不连续),试证 由含参量积分 F 所确定的函数在(-∞,∞)上连续,并作函数F(y)的图象 解由于x∈[0,1],因此当y<0时,f(x,y)=1,y>1时, f(x,y)=-1.当0≤y≤1时 F(y)=(xy)d=(x,y)hx+(x,y)h =(-1)dx+1dx=1-2y 所以 F(y) y<0 1-2y0≤y≤1 它在(-∞,∞)上连续 F(y)的图象见图19-1 2.求下列极限 十a2dx 图19-1 (2)lim,x2cosadx 解(1)f(x,y)=√x2+a2在区域-1≤x≤1.-1≤a≤1 上连续.因此
第十九章含参量积分 2+ adx +adr ir i dx 1 (2)f(x,y)=x2sa,在区域0≤x≤2,-1≤a≤1上连续, 因此 lim[z-2oosazdt = limz2oosazdr=[x?dr=8 设F(x)=c-y计算F(x) 解F(x) ry dy t 2re 4.应用对参量的微分法,求下列积分 (1)n(a2sin2x+b2∞x32x)dr;(a2+b2≠0) (2)1hn(1-2ac8x+a2)d 解(1)若|a|=0,|b1>0,所以b2=1b21 In(b200sr)dx=rIn 1|+2 In(cosz)dx =πln|b|-xln2=xln 同理b|=0,1a1>0 In(asin)dx rl 若1a1>0,1b1>0,设 1(b)=In I a 12sin22+1b12coxdr 则I(b)= 0 a sinr+6200s2rdz
81含参量正常积分 2 得 I(b)= b。1+t2a2 dt 1 01+t2a2 2+2)d x I(0)=2In(a'sin2z)dr=rIn a (x)=[dt+rhn]a/2 2 In(i a I+x)-In2 因而n(a2sin2x+b2s2x)d= rIna+b (2)设1(a)=(1-2amx+a3)dr, 当|a|<1时,1-2 >0,因而1n(1-2acsx+a2)为连续函数,且具有连续导数,所以 I(a)= 20osx+ 2a 0 1-.x+02dx d 01 _2 n)l=0 故当1a1<1时,I(a)=c(常数),但是I(0)=0,从而I(a) 503
第十九章含参量积分 当1a1>1时,令b=1则1b1<1,有I(b)=0.于是I(a) 「2-2x1)hx I()-2rIn I b l= 2In I a I 当1a=1时,1(1)=1n2(1-∞ox)dx =I(In4+2lnsin )dr=0 同理可得I(-1)=0,综上所述得 2rin i ai i a i>1 注第(1)题也可由第(2)题推出.即 Q In(asin+bcos)dx 2,2+62a2-b 2o2x) dx 2∞sq)dg 1「"l(1-21a1+ +(lal-1b)2)do+ rhn Ia1+1b1 I a l+i l 2 tIn la|+丨bl 5.应用积分号下的积分法,求下列积分 sin(In 1 ) Int dr(b>a>0) (2) cos(In) rb x(b>a>0) 解()1记g(x)=sm(m1)因为lmg(x)=0,故令
81含参量正常积分 g(0)=0时,g(x)在[0,1]上连续,于是有 1=J。g(x)dz=」si(nx) xdy]dr sin(In )xdy]d 记f(x,y)=sn(n1)x(x>0),f(0,y)=0,则f(x,y)在0,1;a b]上连续,所以 sin(In)xdy]dr=[ sin(In 5)xdr]dy 作代换x=e后得到 sin(In xdx sintdt= 1+(1+y)2 ay arctan(1+b)-arctan(1+a) (2)类似于(1)题 cos(In) cos(In )r'dr dy 1+y-;dy= 6.试求累次积分 4+与小 并指出它们为什么与定理的结果不符 解由于,2二 3(-x (x2+y2)2-a 3、(-,z2)故有 [2y210]dx