81一致收敛性 第十三章函数列及函数项级数 S1一致收敛性 1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛, 并说明理由: (1)∫n(x) 々2,n=1,2,…,D=(-1,1) (2)fn(x)= 1+n2x2,n=1,2,…,D=(-∞,+∞); (n+1)x+1,0≤x≤ (3)fn(x)= +1 <x≤1 (4)fn(x)=x,n=1,2,…(i)D=[0,+∞); (i)D=[0,1000 (5)/n(x)=sinx,n=1,2,…,(i)D=[-L,L]; (i)D=(-∞,+∞) 解(1) Limon(x)=1x1=f(x)x∈D=(-1,1) lim seB Ifn(c)-f(r)1=lim sUB 1 lim =0 故 |x1,(n→∞),x∈(-1,1) (2)imfn(x)=0=f(x),x∈(-∞,+∞) 17
第十三章函数列及函数项级数 :1fn(x)-f(x)=1+n21 0 故12-230,(n→∞),x∈(-,+) (3)当x=0时, limf(0)=1 当0<x≤1时,只要n>1-1,就有fn(x)=0; lim f,(x) 0,于是在[0,1]上的极限函数为f(x) 0,0<x≤1 因21f(x)-f(x)=10,(n→),故f(x)在(,1上 不一致收敛 (4)易见极限函数为f(x)=0,x∈[0,+∞) (1)因为=1f(x)-f(x)1=a1n1=+∞,所以 王在[0,+∞)上不一致收敛 Ⅱ)因为 lim sup1f(x)-f(x)|=lin10=0, 故x字0,(n→∞),x∈[0,1000 (5)易见极限函数为f(x)=0 ()因为 I fn()-f(x)I 故sin0,(n→∞),x∈[-L,L] ()因为|f(x)-f(x)|=,snn1=1+0, n 故sin}在(-∞,+∞)上不一致收敛 2证明:设fn(x)→f(x),x∈D;an→0(n→∞),(an>0),若 318
S1一致收做性 对每一个自然数n.有1fn(x)-f(x)≤an,x∈D,则{fn}在D)上 一致收敛于∫ 证因|fn(x)-f(x)≤an,(x∈D,n=1,2,…),且an→ 0,(n→∞),所以 lim sup I fm(x)-f(x)|≤iman=0,故f(x) ),x∈D 3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性 (1)∑ 1)!x∈[ (2)∑1x2,x∈ ∑n,1x1>r>0;(4)∑x,x∈[0, (5)∑ (-1) r+ n ,x∈(-∞,+∞); (6)∑ 解(1)Vx∈[ (n-1)! 令 =n→0(n→∞),所以∑ (2)令n(x)=(-1)”,n(x)=, (n2-1):收敛,从面∑xn1在一r,]上致收敛 则Vx∈(-∞, +∞),1∑u4(x)长≤1,(n=1,2,),又对每一个x∈(-∞, +∞),{vn(x)单调递减,且由0≤,x2 )知 vn(x)字0(n→∞),x∈(-∞,+∞),由狄利克雷判别法知 ∑ (1+x2)x在(-∞,+∞)上一致收敛 319
第十三章函数列及函数项级数 (3)当1x1≥r>0时,有,n≤n,且lmn=1.当1<1 即r>1时,∑收敛,所以∑”在1x1≥r>1上一致收敛 当0<r≤1时,1是1=几+0(n→)从而通项不在 x1≥r上一致收敛于0,因此,此时∑n不在1x1≥r上一致收 (4)因121≤1(x∈[0,1,n=1,2,…,所以∑在0,1 上一致收敛 (5)由莱布尼兹判别法知,对(-∞,+∞)上任意一点x, ∑21收做由于加里。Rx)1=加n+1=0 故∑ 在(-∞,+∞)上一致收敛 (6)当x≠0时 (1+x2)n_ e8,1Rx)1=x81+1+2“∈,(1+x)” =1+0,(n→∞),故 在(-∞,+∞)上不一致收敛 4.设函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x) 在D上有界,证明级数∑g(x)n(x)在D上一致收敛于g(x)S(x) 证设1g(x)|≤M,x∈D,因∑un(x)在D上一致收敛于 S(x),所以,Ye>0,彐N>0,当n>N时,对一切x∈D,都有 uk(x)-S(x)<,于是当n>N时,对任一x∈D e(x)4(x)-g(x)s(x)|=|g(x)|∑a(x)-s(x)<
§1一致收敛性 故∑g(x)u(x)在D上一致收敛于g(x)S(x) 5.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n,1un(x)≤vn(x),证明当 ∑vn(x)在I上一致收敛时,级数∑un(x)在I也一致收敛 证因∑vn(x)在I上一致收敛,所以,Ⅴe>0,3N>0,当 n>N时,对一切x∈1和一切自然数p,都∑vn(x)|<e,从而 1n(x)≤21an(x)≤ 故∑un(x)在I上一致收敛 6.设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数.证明:若 ∑un(a)与∑an(b)都绝对收敛则级数∑un(x)在[a,b]上绝对 且一致收敛 证因un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,所以 1un(x)1≤|un(a)|+|an(b)1,(n=1,2,…,x∈[a,b])由 ∑|n(a)1与∑|un(b)1收敛知:∑(un(a)1+n(b)1)收 敛故∑an(x)在[a,b]上绝对并一致收敛 7.在[0,1]上定义函数列wn(x) 0 x≠1=1,2,… 证明:级数∑an(x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级数 证因an+1(x)+un+2(x)+…+an+p(x) n+2 所以,当0≤x≤1时,恒有 1 n t p 0,其它点