第九章定积分 第九章定积分 81定积分概念 1.按定积分定义证明:kax=k(b-a) 证(1)设e>0,对[a,b]的任一分割 T: a= x0<x1<"<xm1<x=b 属于T的所有积分和 ∑(T)=∑k(x-x-1)=k(b-a) 从而 1∑(T)-k(b-a)|=1k(b-a)-k(b-a)|=0<e 据定积分定义知kdx=k(b-a) 2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集e},把定积分看 作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分: (1)xdx提示:2=42(+12 (2) e'dx: (3)edx (4).2(0<a<b).(提示:=√x-1x) 解(1)S=lin 1 (2)即为下面(3)中a=b=0倩形 (3)对[a,b]的任意一个分割T,由微分学中值定理知:在[x-1,x 上存在,使
§1定积分概念 从而 ∑E△x=∑(-1=-e 对属于分割T的所有积分和∑(T),都有 1∑、(T)-(e-e") ∑的△x-∑e△ =1∑e(-)△x1(n在与出之间) ≤eH‖T‖△x ‖T‖e(b-a) 故对任给E>0,取8∠c(b-a)对[a,b上的任意分割T,当 lT‖<8,便有∑(T)-(e-e)|<e所以 idx =e-e (4)对[a,b]上的任意一个分割T: a=x<x1<…<xn=b 取=√x-1x,i=1,…,n,则 互二x1=S(1-1)=1 从而对属于分割T的所有积分和,都有 1∑(T)-(1-1)1
第九章定积分 示(-△1(n位于与之间) T‖△x≤T‖(b-a) 故对任给e>0,取8<,对[a,b]上的任意分割T当‖T <8时,便有!∑(T)-( 1<ε,所以 §2牛顿一莱布尼兹公式 1.计算下列定积分 (1)(2x+3)dx (2) dx e d (5).tan'xdx; )+r (8)1(mx)2dx 1.解(1)原式=(x2+3x)=4 (2)原式=8(1+12)=(x+20)1=2 (3)原式= InIn I=ln2 (4)原式=1 (c+e)=2(e+-2) (5)原式=「5(m2x-1x=(mmx-x)语=3-T 9 (6)原式=(x3+2x=44
§3可积条件 (7)令x=t2,则原式= dt=2(1 =2(t-ln11+th)=4-2ln3 (Inx)d 2.利用定积分求极限: (1)lim1(1+23+…+n3) (3)m叫n2+1n2+2+…,(n+n)2 (n+1)2+ n(5nn+sin+…+sin卫 (4)lm1 2解(1)令J={m·,可以看出这和式是函数在区 间[0,1]上的一个积分和,所以 (2)原式=lim[ (1+1 (1+x)2 b=1 (3)原式=tmn +…+-1 (1)2 n1+x2=平 4)原式=1m(m0+m+
第九章定积分 §3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则 证由性质2,S(T)≤S(T),S(T)≥S(T) 从而S(T)-S(T)≤S(T)-S(T) 即∑a4△x≤∑a△x 2证明:若f在[a,b]上可积,aC[a,b],则f在[a,]上也可 积 证由定理93,因[a,]C[a,b],显然 3.设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数证明:若仅在[a,b]中有 限个点处f(x)≠g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积, 且(x)dx=g(x 证设F=g-f,则F是[a,b]上只有有限个点处不为零的函数 由定理9.5,F在[a,b]上可积,且对[a,b]上任何分割T,取每个 的介点E,使F(G)=0,就有 ∑F(E)△x 由F在[a,b]上的可积性,知 F=n2F(后)△x=0 又对任意T,和每个△1上的任意一点 ∑g()△x=∑(g()-)△x+∑f(")△x =∑F(")△x+∑f()△x 由F,f在[a,b]上可积,令‖T‖→0,右端两式极限都存在,从而 左端极限也存在,故g在[a,b]上也可积,且