§3Gre公式、 Gauss公式和 Stokes公式 Green公式 设L为平面上的一条曲线,它的方程是r()=x()+y()j,a≤t≤B 如果ra)=r(B),而且当t12∈(a,B),1≠12时总成立r(1)≠r(t2),则称 L为简单闭曲线(或 Jordan曲线)。这就是说,简单闭曲线除两个端 点相重合外,曲线自身不相交。 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点,那么D称为单连通区域 否则它称为复连通区域。例如,圆盘{(x,y)x2+y2<1}是单连通区域, 而圆环{(x,y)<x2+y2<1}是复连通区域
Green 公式 设L为平面上的一条曲线，它的方程是 = + tytxt )()()( jir ，α ≤ t ≤ β 。 如果 α = rr β )()( ，而且当 ),(, tt 21 ∈ α β ， 21 ≠ tt 时总成立 )()( 1 2 ≠ rr tt ，则称 L 为简单闭曲线（或 Jordan 曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如，圆盘 }1|),{( 22 yxyx <+ 是单连通区域， 而圆环 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ <+< 1 21 ),( 22 yxyx 是复连通区域。 §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
单连通区域D也可以这样叙述:D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此,通俗地说,单连通区域之中不含有“洞”,而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D,给它的边界∞D规定一个正向:如果一个人沿aD 的这个方向行走时,D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向, 带有这样定向的∂D称为D的正向边界。例如,如图14.3.1所示的区域 D由L与1所围成,那么在我们规定的正向下,L为逆时针方向,而1为 顺时针方向。 图143.1
单连通区域D也可以这样叙述：D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D，给它的边界∂D规定一个正向：如果一个人沿∂D 的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向， 带有这样定向的∂D称为D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区域 D由L与l所围成，那么在我们规定的正向下，L为逆时针方向，而l为 顺时针方向。 D l L 图14.3.1
定理14.3.1( Green公式)设D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有 连续偏导数,那么 Par+ody[r ag_ap ddl ddr a y 其中∂D取正向,即诱导定向
定理 14.3.1（Green 公式） 设 D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数 P( , ), ( , ) xy Qxy 在 D上具有 连续偏导数，那么 ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D D dxdy yP xQ QdyPdx ， 其中∂D取正向，即诱导定向
证先假设D可同时表示为以下两种形式 D={(x,y)y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b ={(x,y)k1(y)≤x≤x2(y),C≤y≤d} 的情形(这时平行于x轴或y轴的直线与区域D的边界至多交两点) 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理(参见图1432)。 y=y2(x) x=x,y) C y=y(x) 图1432
证 先假设 D可同时表示为以下两种形式 }),()(|),{( 1 2 D = ≤ ≤ ≤ ≤ bxaxyyxyyx ),()(|),{( } = 1 ≤ ≤ 2 ≤ ≤ dycyxxyxyx 的情形（这时平行于 x轴或 y 轴的直线与区域 D的边界至多交两点）。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 ( ) 2 x = x y )( 1 = yxx yy x = 2 ( ) yy x = 1( ) O a b x y c d 图14.3.2
aP b ry(x)aP didi ∫P(x,y(x)-P(x,(x)]dk=丁P(x,y(x)k-Pxy()dk P(x, y)dx aD 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 DOxy= dv/20)80 aQ dx x(y)ax ∫1px())-(x((()+x(yy Q(x, y)dy D 两式合并就得到所需的结果
[ ] 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) (, ) , b yx a yx b b a a a b P P dxdy dx dy y y P x y x P x y x dx P x y x dx P x y x dx P x y dx ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= − − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 [ ] 2 1 ( ) ( ) 21 2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) (, ) d xy c xy d d c c c d Q Q dxdy dy dx x x Q x y y Q x y y dy Q x y y dy Q x y y dy Q x y dy ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 。 两式合并就得到所需的结果