第六章微分中值定理及应用 第六章微分中值定理及应用 s1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使得f()=0 1 (1)f(x)= 0<x≤ 0 (2)f(x)=1x1,-1≤x≤1 解(1)因为(x)在[0,1上连续,在(,1)内可导,且f(0)= ∫(1),所以由罗尔中值定理存在一点乓∈(0,1),使得f(e)=0 (2)虽然f(x)在[-1,1]上连续,f(-1)=f(1)但f(x)在( 1,1)内x=0点不可导可见,f(x)在[-1,1]上不满足罗尔中值定理 的条件,因此未必存在一点∈(-1,1),使得f()=0 事实上,由于f(x)=1,x>0 所以不存在一点∈(-1,1),使得f()=0. 2.证明:(1)方程x3-3x+c=0(这里c为常数)在区间[0,1]内 不可能有两个不同的实根; (2)方程x+px+q=0(n为自然数,p,q为实数)当n为偶数 时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根 证(1)记f(x)=x3-3x+c,用反证法假设f(x)=0在[0, 1]内有两个不同的实根x1,x2,那么f(x1)=f(x2),又因为∫(x)在 [0,1]上连续在(0,1)内可导,所以由罗尔中值定理知:存在一点∈ (0,1),使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=±1,因此不存在e∈(0
§1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1),使得∫()=0,于是推出矛盾 (2)设∫(x)=x+px+q,用反证法 1)当n=2k(k=1,2,…)为偶数时,假设f(x)=0至少有三个 实根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3,则由罗尔中值定理知:存在1 ∈(x1,x2),2∈x2,x3),使得 f(1)=2k6k-1+p=0,f(62)=2k221+p=0,但由于幂函 数x21在(-∞,+∞)上严格递增从而f(x)=2kx2k-1+p也在 (-∞,+∞)上严格递增,而乓1<x2<2,所以f(1)<f(2),于 是推出矛盾. 2)当n=2k+1(k=0,1,2,…)为奇数时,若k=0,结论显然成 立若k=1,2,…,假设f(x)=0至少有四个实根,则由罗尔中值定理 f(x)=(2k+1)x2+p=0,即2k、,2k+1=0至少 有三个实根,这与(1)的结论矛盾 3.证明定理6.3的推论2 证设F(x)=f(x)-g(x),则因为F(x)在区间I上可导,且 F(x)=f(x)-g(x)≡0,所以由定理63的推论1知:F(x)为I 上的一个常量函数,即 F(x)=f(x)-g(x)=c(c为某一定数) 从而,在Ⅰ上有 f(x)=g(x)+c(c为某一定数) 4.证明:(1)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)≥m,则 ∫(b)≥f(a)+m(b-a); (2)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)≤M,则f(b)-f(a)≤ 16-a) (3)对任意实数x1,x2都有 证(1)因为f在[a,b]上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存
第六章微分中值定理及应用 在E∈(a,b)使得 f(b)-f(a)=f()(b-a) 又f()≥m,故 f(b)-f(a)≥m(b-a),即f(b)≥f(a)+m(b-a) (2)因为f在[a,b]上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存在 ∈(a,b)使得 f(b)-f(a)=1f()(b-a), 又1f()长≤M,所以f(b)-f(a)≤M(b-a) (3)当x1=x2时结论显然成立,当x1≠x2时,对函数sinx在以 x1,x2为端点的区间上应用拉格朗日中值定理,得 sinai -.?= cosf(x1-x2), 其中￡在x1与x2之间,因此 I sinT1-sinx2 I=I cosE 11 31-I2IsI 21-I2 I 5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 b<hb<b-a,其中0<a<b < arctan<h,其中h>0. 1+h 证(1)因为f(x)=lnx在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以 由拉格朗日中值定理,存在∈(a,b)使得 In g= Inb- lna b 从而 b b∠b <In< (2)对函数f(x)= arctanr在[0,h]上应用拉格朗日中值定理 知:存在E∈(0,h)使得 arctan arctan -arctan=h 从而
§1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1+h2< arctan <h 6.确定下列函数的单调区间 (1)f(x)=3x-x3 (2)f(x)=2x2-lnx (3)f(x)=√2x-x2 (4)f(x)≈x2-1 解(1)由于∫(x)=3(1-x2),故当|x1≤1时,f(x)≥0; 当1x1≥1时,f(x)≤0.所以f在(-∞,-1]U[1,+∞)上递减 在-1,1]上递增 (2)由于f(x)=1(4x2-1),故当0<x≤时,f(x)≤0 当2≤x<+∞时,f(x)≥0所以f在(0,]上递减在,+∞) 上递增 (3)由于f(x)=1-x,f的定义域为0≤x≤2,故∫在0 1]上递增,在[1,2]上递减 (4)由于f(x) >0,x≠0,故∫在(-∞,0)U( 内递增 7.应用函数的单调性证明下列不等式 (1)anx>x-,x∈(0,); (2)<sinx<x,x∈(0,); (3)x-2<ln(1+x)<x-2(1+x)2>0 证(1)设f(x)=tnx-x+,则∫(x)=tan2x+x2>0, x∈(0,3),所以∫在(0,3)内严格递增只f(x)在x=0处连续且 f0)=0,故当0<x<3时,f(x)>0,即mx>x~3 133
第六章徽分中值定理及应用 2)设(2)=sx,则f(x)=(x-1nx)x00<x 2)令g(x)=x-0nx,∈(O,2),则g(x)=tm2x<0,z∈ (0,万),故g(x)在(0,)内严格递减,又g(x)在x=0处连续,且 g(0)=0,故在(,2)内g(x)<0,即x-tanx<0,所以当x∈(0, 2)时,f(x)<0.从而∫在(O,2)内严格递减由于x2=1.所 s2<x<1,即<sinx<x,x∈(0,) 以 (3)设f(x)=h(1+x)-x+2,则f(x)=1+2>0(x> 0)从而当x>0时,f严格递增.又f(x)在x=0处连续,且f(0)= 0,所以当x>0时,f(x)>0时,f(x)>0,即ln(1+x)>x- 设g(x) 2(1+x) ln(1+x),x>0.同理可证,当x> 0时,g(x)>0,即x >ln(1+x)综合上述结果可得,当 x>0时,有 <la(1+x)<x-2(1 8.以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b),(x,f(x))三点组成的三 角形面积,试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理 证易见 (x)=2bf(b)1, f(x)1 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则S(x)亦在[a,b]上连