第十五章傅里叶级数 第十五章傅里叶级数 §1傅里叶级数 1.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数 (1)f(x)=x(1)-π<x<r,(‖)0<x<2π (2)f(x)=x2(i)-π<x<r,(i)0<x<2π; (3)(x)=a,-x<x≤0 (a≠b,a≠0,b≠0) bx,0<x<丌 解(1)(i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-1所示,显然∫ 是按段光滑,故由收敛定理知它可以 展开成傅里叶级数 1(f( 图15-1 当n≥1时,有 nr winnt I (x)sinnrdx sinned
沿1傅里叶级数 z'cosnr I TJaSnrdr 2,当n为偶数时, ,当n为奇数时 所以在区间(-丌,x)上 f(x)=2∑(-1)n+1 (i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-2所 示,显然∫是按段光滑的,故 收敛定理知它可以展开成 傅里叶级数 2丌 图15-2 当n≥1时 sinn.T: 3-1 sinner=0 工 sinnar 2 工 COsnT nAmO 所以在区间(0,2x)上 f(x)=x-2∑ (2)(1)函数∫及其周期延拓后的图像如图15-3所示,显然f是 按段光滑的,故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数 由于
第十五章累叶改 当n≥1时 a=x22=mx21-2∫ CsIn ,当n为偶数时, 2,当n为奇数时 r2sinnrdx F 3X OSnr 2 图15-3 rcosnrdx=0 所以在区间(-丌,)上, (-1) (i)函数∫及其周期延 拓后的图像如图15-4所示 显然∫是按段光滑的,故由收 敛定理,它可以展开成傅里叶 级数 由于 6r x a0= 1[2x2dx=3 图15-4 4兀(n= 所以以区间(0,2x)上 f(x)=3x+4∑(nx- AsinInE (3)函数∫及其延拓后的函数是按段光滑的,因而可以展开成傅里
1傅里叶级数 叶级数由于 l'(e)dx lf ardr+ badr]=ba1 arcosnzdr +l brsinnzdx ]=92[l hn≈1r r sinned sinned (-1)n+( 所以在区间(-x,x)上 f(x)=4 2.设f是以2x为周期的可积函数,证明对任何实c,有 an=f(r)cosnrdcs 1f(a)cosner,n=0,1 f(a)sinned=1 fo 证由定积分性质知 1f(r)cond lr f (z)oosnzdx+f()cosnrdx x]/ a)oosnzdx] 对于积分(x)作变量代换:t=x+2兀,由于f以2x为 周期,所以 t-2x)dt f(x).r f(t-2r)cosn( c+2丌 f(r)oosntdt 将此结果代人上式,得 lf(r)oosnuidt=l f()oosnrdr =an (n=0, 1, 2
第十五章傅里叶级数 同理可证得第二个等式 3.把函数f(x)=4,x<x<0 ,0≤x<丌 展开成傅里叶级数,并由它推出 (2)3=1+3-}-++ (3) 8x=1-}+ 解函数∫及其延拓 后的图像如图15-5所示, 显然是按段光滑的,因而它 可以展开成傅里叶级数 由于 f(r)dx 图15-5 dr =o f(c) 1J(-7)o+:ona=0 sINn (-)sinned t w Jo 4sinnrdx