第十一章反常积分 6证明若f在a,+∞)上可导,且f(x)dz与f(x)dx 都收敛,则limf(x)=0 证f(x)=f(a)+|f(t)dt f(t)dt收敛 imf(x)=f(a)+f(t)d极限存在 又f(x)dz收敛,由上题知,lmf(x)=0 S2无穷积分的性质与收敛判别 1.证明定理11.2及其推论1 解定理11.2的证明 g(x)dx收敛.∴e>0,彐G> 当u1>G,u2>G时,令U2>U1,有1"g(x)dx1<e,又当x∈ [a,+∞)时,lf(x)|≤g(x) 小(f(x)d≤g(x)dxl<e (f(x)dx收敛 ⊥f(x) 推论1的证明:皿g(x)=∴Ve>0(特别取 M,当x>M时,g(x)-1<c:5E(x)1(x)1< 对于|)由比较原则得 1f(x)dx与g(x)dx同敛态 对于ⅱ)|f(x)1<eg(x) g(x)dx收敛,则 (f(x))dx收敛
§2无穷积分的性质与收敛判别 当c=+∞时,即:m(x)=+∞,则YM>0,3G,当x >G, 4>M. I(=)>Mg(z) ∫(x)d发散1(x)|发散 2.设f与g是定义在[a,+∞)上了函数,对任何u>a,它们在 [a,n]上都可积证明:若f(x)dz与g2(x)dx收敛,则 ∫xl(x)d与[r(x)+g(x)Pax也都收敛 证∵1(x)g()<个t足且∫”P(x与2()h 收敛:「“+x2dx收敛 由比较原则1f(x)g(x)ldz收敛,f(x)g(x)dx收敛 又 ((r)+ g())2dx=(x)dr+g2(x)dx+ f(c)g()dx 等式右端三个积分都收敛:(f(x)+g(x)2dx收敛 3.设f,g,h是定义在[a,+∞)上的三个连续函数,且成立不等 式h(x)≤f(x)≤g(x).证明 ()若(2)d与。()b都收做,则。(x)d也收敛 (2)又若h(x)dx=」g(x)dx=A,则」f(x)dx=A 证(1)h(x)dx与g(x)dx都收敛 (g(x) h(x))dx收敛又0≤g(x)-f(x)≤g(x)-h(x)由比较原则
第十一章反常积分 g(x)-f(x)ldx收敛,又f(x)dz=g(x)dx+ (f-g)dx,故f(x)d收敛 2)对n>a,h(x)≤f(x)≤g(x):h(x)dx≤ f(x)dx≤g(x)dx,令n→+∞,由迫敛性得f(x)dx=A 4.讨论下列无穷积分的收敛性 (2) (3) 01+√x +oe rarctan dr; 1+ (5)ln(1+x) 7, 解1)limx3y4+1 =1,P>10<入<+c 收敛 2)lim 由p积分知 dx收敛 xdx收敛 1+√x =1,0<A<+∞,0<p<1 dx发散 11+√x arctan.T a arctan 274
§2无穷积分的性质与收敛判别 由p积分 dx收敛 +om arctan dx收敛 n(1+x) 5)当n>1时,lin n(1+x) 由p积分 收敛∴当n>1时, In(1 收敛 In(1+z) 当n≤1时,m1 ∞ 1“女发散,x+1发散 6)当n-m>1时+2m>1 0 1+ λ=0,p=1+n,m>1:积分收敛 5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 (1) dci sgn(sine2 dr 1 +oo 0100+x; (4) sin.xdr 解1)”mx=2,”mt 1单调递减趋于0(2→+),∫,snt≤2y>1) 由狄利克雷判别法,积分收敛 sint cost ∈[1,+∞)
第十一章反常积分 其中,由狄利克雷判别法知收敛,而发散 ∫;"1-(业发散原积分条件收敛 2)1如2d=。1+2a(m≠0) 1 +x21,P=2>1,λ=1∴ dx收敛 当sinx≠0时 1+x2 0∴原积分绝对收敛 3)小g∞xzdx≤1Jx在[0,+∞)上单调递减且当x→+ 100+ ∞时,趋于零,∴积分收敛 又m千22x=am0+2)+m0+ 2(100+x) dx发散 12(100+xz)2adx收敛 原积分为条件收敛 4)广n(n In(Inz)sinad+: In(nz )sinzdr 小.snm长≤2且在,+)上,(mx)y=1-bhn}<0 x+(lnx2 1(nx2单调递减且有lm(mz=immx=0 Inx 由狄利克雷判别法知, sinner收敛 T 原积分收敛 又1(nxix1≥-址(mx)s2x=h)-=mx) 而:1mmx2d发散,「址(n3)dm收敛 In( 2ln.x 276