§1反常积分的概念 第十一章反常积分 S1反常积分的概念 1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值 (1)。mx-xdx; re"dx (3) ∫∫ (1 ∞4x2+4x+5 o e sindo (7))e'sinzdx 解1)m边=。d2)=-122=2-122 ma=m(2-2)= +∞ 无穷积分收敛 2) e re dr ae dr 由上一题知 2收敛,令t=-x则 te dt cedx=0∴无穷积分收敛 e 2dr= lim 67
第十一章反常积分 im(1-2e-2)=1∴无穷积分收敛 x2(1 x2(1+x) lin( →+∞1x (1+x)-lnx) =1m(1-+(1+1)-h2)=1-12∴无穷积分收敛 dx 4 dr lim a arctanx+5)18+ lim i arctan(x+5) lim arctan (a +0)-lim arctan (b+ D)) 无穷积分收敛 6)Le"*sin. dx =0(1-e" - sina) 积分收敛 7) e.xdx= esinxdx+e'sinzdx e2 sindh=b(1-(sa-sina)e)当a→+∞时,极限不存在 同理 e sin.rdr=[(sinb-sb)e-1],当b→-∞时,趋于 ∴原积分发散 8) dx=ln(a+1+a2)当 a→+∞时,趋于+∞,…原积分发散
1反常积分的概念 2.讨论下列瑕积分是否收敛?若收敛,则求其值 (1 (5))Inrdx; (8) 1)解=;1(6-a2)-(n-a)n]① 当P<1时 Jagriopdr= limoux=(b-a)l-p 1 收敛 当P>1时,n→a①式极限不存在∴发散 当P=1时, 1 dx=ln|b-al-ln|n-a|当n→a 极限不存在.∴原积分发散 2)解。11d2=,21-1)=2b b→1-时,极限不存在∴原积分发散 b→1 dx lim 0√|x-1i 4积分收敛 dz=im[1-√1-a2]=1 ∴积分收敛
第十一章反常积分 5). Inada rInx 11 imn(a-1-alna)=-1∴积分收做 (iaz landi + 2idt arctan - - ano=arct 0(a+p54=2(1+2+amy i-a)+ arct:n 当a→1时,①式极限为,②极限为,所以 dx:=丌 7) )2 0√1-(2x-1)2 d(2x-1)+ 2√1-(2x-i arash(2x-1)+aresh(2c-1)11=T (8) z(Inz) bar Jo r(Inr ) dr t Ji x(Inz)odr 70
§1反常积分的概念 lim a-o*Jo x(Inr )p b Ji a(Inz) dr lim: L(In.x)1-P 12+ lir,(nx)l-p 12 (1-p(m2) b→1 (Inb )-p-lin (Ina)I-p 此极限不存在,故积分发散 3.举例说明:瑕积分|f(x)dr收敛时,f2(x)dx不一定收敛 解例如令八(x)=1,则(x)hx=.1x=2 f(x)dx收敛,但。dx由p积分知发散 4.举例说明:」(x)x收敛且f在a,+∞)上连续时,不 解例如」,sinx2dx=(°sntd,由狄利克雷利别法知 2 sint收敛但当x→+∞时,simx2极限不存在 5证明:若f(x)dr收敛,存在极限lmnf(x)=A,则A=0. 证若A≠0,不妨设A>0,则由limf(x)=A,取e 3M,当x>M时,有f(x)-A1<2(x)>:∫”会 发散,由此较判别法知,f(x)dx发散,矛盾.A=0