第十二章数项级数 第十二章数项级数 s1级数的收敛性 1.证明下列级数的收敛性并求其和 6 6·1111·16 (2)(+)+( 11 1 n+1)(n+2) (4)∑(n+2-2√n+1+√n); (1)5-5(1-6+(~1 所以lms=3,从而该级数收敛且和为 (2)∑是公比为的几何级数,故收敛于 ∑收敛于-,所以∑(n+1)收敛于1+ (3)因an n(n+1)(n+2) 1)(n+1)(n+2
81级数的收敛性 从而S=习2(ak+1)-(+1k+2) (n+1)(n+2) 故该级数收敛,其和为 (4)因为其通项为 an=√n+2-2√n+1+√n=√n+2-√n+1 1 n+1+√n 所以 √k+2+√k+ n+2+√n+1 1 故该级数收敛且其和为1-2 (5)S-1 sn=(+3+…+2n1)-(1.(1)2 3…()3+5:()4+…+(2n-1)()n+ =1+2·(1)2+2·(1)3+…+2.(1) -(2n-1)·() +…+nn=2)]-(2n-1)()
第十二章数项级数 (2n-1)()n 所以 lim s=3.即所给级数收敛,且其和为3 2证明:若级数∑an发散则∑Can也发散(c≠0) 证(反证法)若∑Cn收敛,则由C≠0知 ∑un=∑ 由定理122知∑xn也收敛,与题设矛盾从而当∑un发散时, Cun也发散 3设级数∑an与∑vn都发散试问∑(un+vn)一定发散吗? 又若un与vn(n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论? 解当∑un与∑vn都发散时,∑(un+vn)不一定发散例 ∑n=∑1和∑n=∑(-1)都发散,而∑(an+vn)=0+ 0+…收敛 但当xn与vn(n=1,2,…)都是非负数时,则∑(un+vn)一定发 散,证明如下 由∑un发散知,存在0>0,对任何自然数N,总存在自然数 m(>N)和p0,有 I um,+1 +um+2 从而 1(um+1+tm1)+(nt2+vmn2)+…+(mgt+n+n2)1≥e0 由柯西准则知∑(un+vn)发散 4.证明:若数列{an}收敛于a,则级数∑(an-an+)=a1-a 证由已知lim n=1
1级数的收敛性 所以lmSk=lim(a1-ak+1)=(a1- lim ak+1)=a1-a, 即 5.明:若数列{bn}有 lim b=+∞,则 (1)级数∑(bn+1-bn)发散; (2)当bn≠0时,级数∑( 1_1)1 证(1)因Sn=∑(b+1-bn)=bn+1-b1,万 b1) 故级数∑(bn+1-bn)发散 (2)当b,≠0时,m=0,从而 lmS=m(b-y)=lm(1-1)=1 n+1 即 b b 6.应用第4,5题结果求下列级数的和 (1)∑ (2)>(-1)+2mn+1; (3) 2n+1 n1(n2+1)(n+1)2+1] 解(1 而数列1-11收敛于0,所以 a+1-1 0 (2)原式=∑[-(=1-( (-1)x) 295
第十二章数项级数 而数列{-(=1)收敛于0,所以 (-1)m+1-2n+1 0=1 (3)原式 n2+1(n+1y+1,而数列21收敛于 0,所以 (n2+1)[(n+1)2+1]12+1 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性 (1)∑sin2 2n2+1 (3)∑(-1) (4)∑—1 解(1)任给自然数p,有 <(1-)< 而im1L=0,于是任给e>0,存在N,当m>N时任给自然数p E 所以该级数收敛 (2)取60=3,对任一N,取m=N+1,p=1,则m>N且 um10+19m+1) =E0 据柯西准则知原级数发散 (3)任给c>0,取N=[],当m>N时,任给p, 力+1 m+2 +1m+2 +(-1)p+1