§1导数的概念 第五章导数和微分 S1导数的概念 1已知直线运动方程为s=10t+5t2,分别令△t=1,0.1,0.01 求从t=4至t=4+△t,这一段时间内运动的平均速度及t=4时的 瞬时速度 解设△s是在△t时间内的运动路程,则 △s=10(t+△t)+(t+△t)2-10t-5t2=10+10+5△t 当t=4时,公=50+5△t,此即从t=4到t=4+△t之间的平 均速度 1时, 55;￥△t=0.1时△=50.5;当△t=0.01时 50.05.其瞬时速度为im公=m(50+5△z) 2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比试由此给出变 速旋转的角速度的定义 解设0为任一确定时刻,to到t转过的角度为△.记 △t=t-to,则在△t时间内,旋转的平均角度为a △6 若lmn△存在,则此极限可定义为变速旋转在t时刻的角速度 3.设f(x)=0,f(x0)=4,试求极限linf(xo+△x) 解由题设n1(x+△2)=122=4,面m区a2=0 故linf(xo+△x 103
第五章导数和微分 4.设f(x)= ar+b,r< 3 试确定a,b的值,使∫在x=3 处可导 解由于当∫在x=3处可导时,必在x=3处连续,于是必有 f(3-0)=f(3+0),即9=3a+b.又f+(3)=6,f(3)=a,故 ∫在x=3处可导时a=6,从而b=-9 5.试确定曲线y=lnx上哪些点的切线平行于下列直线 (1)y=x-1(2)y=2x-3 解(1)设(x0,y0)处y=lnx的切线平行于y=x-1,则在该 点处的斜率相等.即(lnz)'|xn=1.可见x0=1,从而yo=0.故在 (1,0)处y=lnx的切线平行于 (2)由 =2得x=2,代人y=hx中得y=-12所以在 hn2)处y=lnx的切线平行于y=2x-3 6.求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程 (1)y=,P(2,1);(2)y=cosx,P(0,1) 解(1)因y=2y(2)=1故切线方程y-1=x-2即 y=x-1,法线方程为y-1=-(x-2),即y=3-x (2)因y=-sinx,y(0)=0故切线方程为 y=1,法线方程为 7.求下列函数的导函数 (1)f(x)=1x13;(2)f(x)= x+1x≥0, 1 x3,x≥0 解(1)因f(x)= 从而当x>0时f(x)=3x2 x3,x<0 当x<0时,f(x)=-3x2,当x=0时,由f+(0)=im
81导数的概念 f-(0)=lm-x3-0=0得f(0)=0 f(x)=/3x2 ≥0 (2)当x>0时,f(x)=1,当x<0时,f(x)=0 当x=0时f+(0)=mx+1-1=1 f(0)=lin1-y0,于f,(0)≠厂(0), 所以,f(x)在x=0不可导,故f(x)= 1,x>0 0,x<0 8.设函数f(x)= sin,z≠0 (m为正整数) 0 试问:(1)m等于何值时,f在x=0连续; (2)m等于何值时,f在x=0可导 (3)m等于何值时,f在x=0连续. 解(1)当m为任意正整数时,都有lmx"m1=0=f(0) 因此,当m为任意正整数时,f在x=0连续 (2)当m为大于1的正整数时,有linf(x)-f(0) mnxm-in1=0这时,∫在x=0处可导,且f(0)=0 当m=1时 limrm-Isin1不存在故∫在x=0不可导 (3)当m为大于2的正整数时,若x≠0,则 trams 1 nisin limf(r)=limzm-2(mzsin I )=0=f(0).故f在x=0 连续
第五章导数和微分 当m=2时,因lmg( msin I-0∞x)不存在,所以厂在x=0 不连续 9.求下列函数的稳定点 (1)f(r)=sinx -cosr (2)f(r) 解(1)f(x)=csx+sinx令osx+sinx=0 2(2x+ +y2sinc)=0即 sin(+x)=0 x=kπk∈z∴x=k丌- 为稳定点(k∈z) (2)f(x)=1-1,令1-1=0∴x=1为稳定点 10.设函数f在点x0存在左右导数试证f在点xo连续 f(x)-f(x0) 由无穷小量概念,有 x-正0 f(x)-f(x0) -工0 =f+(x0)+a,其中ima=0.于是f(x)-f(xo) =f+(x0)(x-x0)+a(x-x0)→0(x→xd),故f在xo是右连续 的同理可证f在x0是左连续的因而f在x0连续 1设g(0)=(0)=0,f(x)=地(x)ain1,x≠0 求f(0) (0 g(T)sIn g(r)sin-g(o) 1 解f()=im g(x)-g(0 sin,由于sin1是有界量 g(x)-g(0) g(0)=0,所以f(0)=0 12.设∫是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若f(0)=1证明对任何x∈R,都有 f(x)=f(r)
1导数的概念 证由于f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)对一切x1,x2∈R成立 于是对任意x∈R,有f(x)=f(x)f(0)若∫(x)≡0则结论成立 若f(x)≠0,则f(0)=1于是对任一x∈R f( f(x+△x)-f(x) △x f(x)f(△x)-f(x) △ =m(x)2-1 =f(x)m(△x)-f()=(x)f(0)=f(x) 13.证明:若f(x0)存在,则 f(x0+△x)-f( 证;mnf(z+△x)-f(x0-△x) f(xo+Ax)-f(zo)+f(xo)-f(r =f(xo)+f(x0)=2f(x0) 14.证明:若函数∫在[a,b]上连续,且f(a)=f(b)=k f+(a)·f-(b)>0,则在(a,b)内至少有一点6,使f(E)=k 证不妨设f+(a)>0f‘(b)>0.即imfx)-f(a) tmf(x)-k>0,mf(x)=(b)=m(x)一k>0;由极 限保号性质,分别存在δ1>0,62>0,使得 当x∈U+‘(a,δ1)时 f(r)- 0即∫(x)> 当x∈U·(b,)时,(x)-k>0即f(x)<k 取x1∈U+"(a,1),x2∈U"(b,82),x1<x2则 f(x1)>k,f(x2)<k 因f在[x1,x2]上连续,由介值定理知:至少存在一点 ∈(x1,x2)C(a,b),使得∫()=k