正规矩阵 冬正规矩阵 ·实矩阵A ·若满足ATA=AAT,则A为实正规矩阵 ·复矩阵A ·若满足AHA=AAH,则A为复正规矩阵 ■显然 ·实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规 矩阵 ·厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 正规矩阵 正规矩阵 实矩阵A • 若满足ATA = AAT ，则A为实正规矩阵 复矩阵A • 若满足AHA = AAH ，则A为复正规矩阵 显然 • 实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规 矩阵 • 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵
酉对角化 冬Schur引理 ·设元，2，…，2n是n阶方阵A的特征值 ·则存在酉矩阵U,使 米 U-AU- 22 0 lexu@mail.xidian.edu.cn ●1 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 酉对角化 Schur引理 设 是 n 阶方阵 A 的特征值 则存在酉矩阵U，使 λ λ λ n , , , 1 2 ∗ = − n U AU λ λ λ 0 2 1 1
第5讲Jordan标准形 冬酉对角化充要条件 冬Jordan标准形 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 第5讲 Jordan标准形 酉对角化充要条件 Jordan标准形
酉对角化充要条件 必定理 ·阶方阵A,酉相似于对角阵的充要条件是 ·A为正规阵（实或复) ·不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 ·实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 (若特征值全为实数，则可正交相似对角化) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 酉对角化充要条件 定理 n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复） • 不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 • 实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数，则可正交相似对角化）
酉对角化充要条件 冬定理 "阶方阵A,酉相似于对角阵的充要条件是 ·A为正规阵（实或复） ·[证明 ·由Schuri引理，存在酉矩阵U使得 A=URAU= 1≤i≤ji≤n 11,22,,几n是A的特征值 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 酉对角化充要条件 定理 n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复） • [证明] • 由Schur引理，存在酉矩阵U使得