10…0bn…bn4)B对应的线性方程组为 0 d2 00 .di 00 0 00 0 00 0 r列 后n-r列 第二步:往证R(4)=R(4,b)=n→唯一解 若R4)=R(4,b)=n,则d1=0且r=n,从而b都不出现 故原线性方程组有唯一解
前 nr 列 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = 1 2 ( 1) 0 0 0 n m n d d d + 第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解． 后 n - r 列 则 dr+1 = 0 且 r = n， 对应的线性方程组为 1 1 2 2 , , . n n x d x d x d = = = B 从而 bij 都不出现. 11 1, 21 2, ,1 , 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r b b b b b b − − − 1 2 1 ( 1) 0 0 r r m n d d d d + +
0 m-P 0b2 00 B 00 00 0 d 00 00 0 00 00 00 mx(n+1) 前r列 后n-r列 第三步:往证R(4)=R(4,b)<n→无穷多解 若R(4)=R(4,b)<n,即r<n,则dr+1=0 B对应的线性方程组为
第三步：往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 若 R(A) = R(A, b) < n ， 对应的线性方程组为 前 r 列 则 dr+1 = 0 . 后 n - r 列 即 r < n ， 11 1, 1 21 2, 2 ,1 , 1 ( 1) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r r r m n b b d b b d b b d B d − − − + + = 1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + − + + + = + + + = + + + = B
+b, l1"r+1 十…十 b, b,x,,+…+b,x=d +b,x,+∴+b.x.=d 令x严1,…xn作自由变量,则 +d1 线性方程组 b,x +d 的通解 再令x1=C1, xI CI bu-C-+d, .c+d …十c 十
1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + − + + + = + + + = + + + = 1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + − = − − − + = − − − + = − − − + 令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 再令 xr+1 = c1 , xr+2 = c2 , …, xn = cn-r ，则 1 11 1 1, 1 1 1 , 1 1 n r n r r r r n r n r r r n n r x b c b c d x b c b c d x c x c − − − − + − − − − + − − − + = 11 1, 1 1 , 1 1 0 0 0 1 0 n r r r n r r n r b b d b b d c c − − − − − − − = + + + 线性方程组 的通解