证:(1)由于A正定,则存在可逆矩阵P,使 PAP=E,于是有, (PAP)=P-A(P=((P-A(P)=E 令Q=(P-),则Q可逆,且QAQ=E, 即,4与单位矩阵E合同.故,A正定 (2)由于A正定,对VX∈R",X≠0,都有XAX>0, 因此有X(k4)X=kX4X>0.故,kA正定 §4正定二次型
§4 正定二次型 证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 于是有， 故， 正定. 1 A − （2）由于A 正定，对 , 0, 都有 n X R X X AX 0, 因此有 X kA X kX AX ( ) 0. = 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (( ) ) ( ) P AP P A P P A P E − − − − − − − = = = P AP E = , 则Q可逆，且 1 Q A Q E, − 令 = 1 Q P( ) , − = 故， kA 正定. 即， 与单位矩阵E合同. 1 A −
(3)A正定,则存在可逆矩阵C,使A=CC,于是 >0 又A'=|4A,由(1)(2)即得A正定 (4)由于A正定,知"为n阶可逆对称矩阵, 当m=k时,m=A2=A4=(AyE4 即,"与单位矩阵E合同,所以A"正定 §4正定二次型
§4 正定二次型 ，由（1）（2）即得 正定. * 1 A A A− 又 = * A （3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A C C = ，于是 2 A C C C = = 0 当m＝2k 时， 2 ( ) , m k k k k k A A A A A EA = = = 即， 与单位矩阵E合同，所以 正定. m A m A （4）由于 A 正定，知 为n 阶可逆对称矩阵 ， m A
当m=2k+1时,Am=A4+=AA4=(4yA4, 即,4"与正定矩阵A合同,而A与单位矩阵E合同, 所以A"与E合同,即4"正定 (5)由于A、B正定,对VX∈R",X≠0,都有 XAX>0, XBX>0 因此有X(A+B)X=XAX+XBX>0 故,A+B正定 §4正定二次型
§4 正定二次型 （5）由于A、B正定，对 X R X n , 0, 都有 X AX X BX 0, 0 因此有 X A B X X AX X BX ( ) 0. + = + 故，A＋B正定. 当m＝2k＋1 时， 2 1 ( ) , m k k k k k A A A AA A AA + = = = 即， 与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同， m A 所以 与E合同，即 正定. m A m A
3、正定矩阵的必要条件 1)实对称矩阵A=(an)mx正定 →a1>0,=1,2,…,n 证:若A正定,则二次型∫(x1,x2…,xn)=XAX 正定.取X1=(0,…,0,1,0, 第 则f(X;)=XAX1=a1n>0,i=1,2,…,n §4正定二次型
§4 正定二次型 3、正定矩阵的必要条件 1）实对称矩阵 A a = ( )ij n n 正定 0, 1,2, , . = a i n ii 取 (0, ,0, 1 ,0, ,0) i i X = 第 个 正定. 证：若A正定 ，则二次型 1 2 ( , , , ) X AX n f x x x = ( ) 0, 1,2, , i i i ii 则 f X X AX a i n = = =