第五节线性方程组有解判别定理 问题ε如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解 定理ln元齐次线性方程组Ax=0有非零解 的充分必要条件是系数阵的秩R(4)<n 证必要性设方程组Ax=0有非零解, 设R()=n,则在中应有一个n阶非零子式D,从而 D所对应的n个方程只有零解(根据 cramer定理
( ) . 1 0 R A n n A x m n = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 第五节 线性方程组有解判别定理 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性 ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据Cramer定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
这与原方程组有非零解相矛盾, R(4)=n不能成立.即R(4)<n 充分性设R(4)=r<n 则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行, 从而知其有n-r个自由未知量 任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0, 即可得方程组的一个非零解
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
定理2n元非齐次线性方程组Ax=b有解 的充分必要条件是系巍矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(4b)的秩 证必要性设方程组Ax=b有解, 设R(A)<R(B 则B行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1, 这与方程组有解相矛盾因此R(4)=R(B)
证 必要性 设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
充分性设R(4)=R(B 设R(A)=R(B)=r(r≤n 则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行, 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 乍自由未知量 其余n-r个作为自由未知量, 并令n-r个自由未知量全取0, 即可得方程组的一个解. 证毕
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r
小结R(4)=R(B)=n台Ax=b有唯一解 R(A)=R?(B)<n兮Ax=b有无穷多解. 定义:含有个参数的程组的任一解,称为线胜生 方程组的通解 齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解; 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解;
小结 R(A)= R(B)= n Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；