85线性子空间 、线性子空间 二、生成子空间
1 一、线性子空间 二、生成子空间
、线性子空间 1、线性子空间的定义 设Ⅴ是数域P上的线性空间,集合WcV(W≠) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间,简称为子空间 注:①线性子空间也是数域P上一线性空间,它也 有基与维数的概念 ②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数
2 一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数
2、线性子空间的判定 定理:设为数域P上的线性空间,集合WV (W≠),若W对于Ⅴ中两种运算封闭,即 va,B∈W,有a+B∈W; Va∈W,Vk∈P,有ka∈W 则W是V的一个子空间 证明:要证明W也为数域P上的线性空间,即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则
3 2、线性子空间的判定 ( ) W ，若W对于V中两种运算封闭，即 + , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V W k P k W , , 有
由于W≤V,规则1)、2)、5)、6)、7)、8) 是显然成立的.下证3)、4)成立 ∵W≠,∴彐α∈W.且对α∈W由数乘运算 封闭,有-c=(-1)a∈W,即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素,4)成立 由加法封闭,有0=a+(-a)∈W,即W中的零元 就是V中的零元,3)成立 推论:V为数域P上的线性空间,VW≠),则 W是V的子空间分→Va,B∈W,Va,b∈P,aa+bB∈W
4 ∵ W ，∴ W . 且对 W ，由数乘运算 封闭，有 − = − ( 1) W ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 W V ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． + , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W ( ), 则 由加法封闭，有 0 ( ) = + − W ,即W中的零元 W是V的子空间
例1设为数域P上的线性空间,只含零向量的 子集合W={0}是V的一个线性子空间,称之为ⅴ的 零子空间.线性空间ⅴ本身也是的一个子空间 这两个子空间有时称为平凡子空间,而其它的 子空间称为非平凡子空间 例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则Rx为ⅴ的一个子空间 例3Pxl是P[x的的线性子空间
5 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}