§8线性空间的同构 同构映射的定义 二、同构的有关结论
1 一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入 我们知道,在数域P上的n维线性空间Ⅴ中取定 组基后,V中每一个向量a有唯一确定的坐标 (a1,a2,…,an),向量的坐标是P上的n元数组,因此 属于P.这样一来,取定了Ⅴ的一组基61,62,… 对于V中每一个向量a,令a在这组基下的坐标 (a1,a2,…,an)与α对应,就得到V到P的一个单射 p, ah(a 92 反过来,对于Pm中的任一元素(1,a2,…,an) a=E1+E2a2+…+Enan是V中唯一确定的元素, 并且σ(a)=(a1,a2,…,an),即σ也是满射 因此,σ是V到P的一一对应 2
2 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 ，向量的坐标是P上的n元数组，因此 属于Pn . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就得到V到Pn的一个单射 反过来，对于Pn中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到Pn的一一对应. 引入 1 2 , , , n 1 2 ( , , , ) n a a a ( , , , ) a a a 1 2 n 1 2 : , ( , , , ) n V P a a a → n 1 2 ( , , , ) n a a a 1 1 2 2 n n = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n = a a a
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上 任取a,B∈V,设 =a1E1+a2E2+…+unEn,B=b161+b2E2+…+bnEn 则o(a)=(a,n2…,an),σ(B)=(b1,b2,…,b,) 从而σ(a+β)=(a1+b,a2+b2…,an+bn) =(1,a2…,an)+(b1,b2…,bn)=(a)+() (Ka)=(ka1,ka2…,kn) Vk∈P 192 ,)=ko(a), 这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以 归结为它们的坐标的运算
3 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取 , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n = b b b 1 1 2 2 , n n = + + + a a a 1 1 2 2 n n = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则 = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n k ka ka ka k P = 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b 1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k 从而
同构映射的定义 设V,都是数域P上的线性空间,如果映射 G:V→V具有以下性质: i)a为双射 iio(a+B)=o(a)+o(B), Va,BEV )o(ka)=ko(a),Wk∈P,va∈V 则称是V到V的一个同构映射,并称线性空间 V与V同构,记作坐
4 一、同构映射的定义 设 V V, 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V → 具有以下性质： 则称 是V V 到 的一个同构映射，并称线性空间 V V 与 同构，记作 V V . ii) ( ) ( ) ( ), , + = + V iii) (k k k P V ) = ( ), , i) 为双射
例1、V为数域P上的n维线性空间,6162,…,En 为V的一组基,则前面V到P的一一对应 丿→P aH>(u1,a2,…,an)Va∈V 这里(a1,a2,…,an为a在E1,E2,…,En基下的坐标, 就是一个V到P的同构映射,所以V坐Pn
5 为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 1 2 , , , n : , n V P → 1 2 ( , , , ) n a a a V 这里 ( , , , ) a a a 1 2 n 为 在 1 2 , , , n 基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 . n V P