§3維缴a葚与坐标 线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
1 一 、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引入 问题I 如何把线性空间的全体元素表示出来? 这些元素之间的关系又如何呢? 即线性空间的构造如何? (基的问题) 问题Ⅱ 线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西 数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达? 怎样才能便于运算? (坐标问题)
2 引入 即线性空间的构造如何？ 怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题） 问题Ⅱ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ （坐标问题）
线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义:V是数域P上的一个线性空间 (1)a2a2…,ar∈V(r≥1),k,k2…k,∈P,和式 k1ax1+k22+…+k1rn 称为向量组a,a2,…,a,的一个线性组合 (2)1,2…r,B∈V,若存在k1,k2,…,k∈P 使β=ka1+k2a2+…+kan 则称向量B可经向量组ax1a2,…a线性表出;
3 一 、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义：V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , , r V r r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k 称为向量组 1 ,2 ,,r的一个线性组合． （2）1 ,2 ,,r , V ，若存在 1 2 , , , r k k k P 则称向量 可经向量组 1 , 2 ,, r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使 k k k
若向量组B1,B2,…,B、中每一向量皆可经向量组 C122…,c,线性表出,则称向量组B1,B2,,B。 可经向量组1O2…,C1线性表出; 若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组 为等价的 (3)a12a2…,axn∈V,若存在不全为零的数 k,k2…k,∈P,使得 ka1+k2a2+…+ky2=0 则称向量组a1,a2…ar为线性相关的;
4 若向量组 1 , 2 , , s 中每一向量皆可经向量组 1 2 , , , r线性表出，则称向量组 1 2 , , , s 可经向量组 1 , 2 , , r 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2 , , , r V ，若存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k P，使得 1 1 2 2 0 r r k k k 则称向量组 1 , 2 , , r 为线性相关的；
如果向量组a1,O2…,a,不是线性相关的,即 ka1+k2a2+…+k,cx=0 只有在k1=k2=…=kn=0时才成立, 则称a12Q2,…,C为线性无关的 2、有关结论 (1)单个向量a线性相关◇O=0 单个向量a线性无关≠0 向量组a1,O2,…,线性相关 →C12C2…,C1中有一个向量可经其余向量 线性表出
5 如果向量组 1 , 2 , , r 不是线性相关的，即 1 1 2 2 0 r r k k k 只有在 k 1 k2 kr 0 时才成立， 则称 1 , 2 , , r 为线性无关的． 2、有关结论 （1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1 , 2 , , r线性相关 1 2 , , , r 中有一个向量可经其余向量 线性表出．