线性空间的定义与简单性质 、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
1 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中,我们讨论了数域P上的n维向量 空间P,定义了两个向量的加法和数量乘法: (a1,2,…,an)+(b,b2…,bn)=(1+b1,a2+b2,…,an+bn) k(a1,.2,…,an)=(kn1,ka2…,kun),k∈P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 a+B=B+a la=a (a+B)+r=a+(B+r) k(la)=(kl )a a+0=c (k+Da=ka+la a+(-a)=0 k(a+B)=ka+kB Va,B,y∈P",Vk,l∈P
2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 引例1 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
引例2 数域P上的一元多顶式环Px中,定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法,而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律,即 f(r+g(x=g(r)+f(x) (∫(x)+g(x)+h(x)=∫(x)+(g(x)+h(x)) f(x)+0=∫(x) f(x)+(-∫(x)=0 f(x)g(x),h(x)∈P[x], If()=f(r) Vvk,l∈P k()f(x)=(k)f(x) (k +Df(r)=kf(x)+f(x) kof(r+g()=kf(x)+hg()
3 同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 引例2 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = +
线性空间的定义 设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合p中 定义了一种代数运算,叫做加法:即对Va,B∈V 在V中都存在唯一的一个元素与它们对应,称?为 a与B的和,记为y=a+;在P与的元素之间还 定义了一种运算,叫做数量乘法:即a∈V,vk∈P 在V中都存在唯一的一个元素6与它们对应,称6为 k与a的数量乘积,记为δ=ka.如果加法和数量乘 法还满足下述规则,则称V为数域P上的线性空间:
4 一 .线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则:Va,B,y∈ ①a+B=B+a ②(a+B)+y=a+(B+y) ③在V中有一个元素0,对a∈V,有a+0=a (具有这个性质的元素0称为的零元素) ④对∨a∈V,都有V中的一个元素β,使得 a+B=0;(β称为O的负元素) 数量乘法满足下列两条规则: ⑤1a=a 6 k(la)=(hd)a 数量乘法与加法满足下列两条规则: ⑦(k+l)a=ka+la⑧k(a+)=ka+k
5 加法满足下列四条规则： ① + = + ④ 对 V, 都有V中的一个元素β，使得 ⑤ 1 = ⑥ k l kl ( ) ( ) = 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l + = + ③ 在V中有一个元素0，对 + = V, 0 有 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : + = 0 ;（β称为 的负元素） ② ( ) ( ) + + = + + , , V ⑧ k k k ( ) + = +