第四节矩阵的秩 定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的 秩;矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩 31 例1求矩阵A 的秩 0005 解矩阵A的行向量 13 3=(0005)a4=(0
1 第四节 矩阵的秩 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的 秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩. 例1 . 0 0 0 0 0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 求矩阵 的 秩 − A = 解 矩阵A的行向量 ( ) ( ) (0 0 0 5) (0 0 0 0) 1 1 3 1 0 2 -1 4 3 4 1 2 = = = =
可以证明a1,a2,a3是a1,a2a3,a4的一个极大线性 无关组 由 k201+k2C2+k3C3=0 k1(,3,1)+k20,2,14)+k3(0,0,0.5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3)=0 可得k1=k2=k3=0 线性无关性得证 又因为a4是零向量,因此a1,a2,a3,a4线性相关 证明了a,a2a3是ax1,a2,a3,aα4的极大无关组 矩阵A的行秩为3
2 可以证明 1 , 2 , 3 是 1 , 2 , 3 ,4 的一个极大线性 无关组. 由 k1 1 + k2 2 + k3 3 = 0 即 ( ) ( ) ( ) ( , 2 , 3 , 4 5 ) 0 1,1,3,1 0,2,-1,4 0,0,0,5 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 = + − + + = + + k k k k k k k k k k k 可得 k1 = k2 = k3 = 0 线性无关性得证 . 又因为 4 是零向量，因此 1 2 3 4 线性相关. , , , 证明了 是 的极大无关组. 1 2 3 , , 1 2 3 4 , , , 矩阵A的行秩为3
引理如果齐次线性方程组 aux,+au2x2+.+aunxn=0 21x1+a2x2+…+a2nxn=0 a,x,+a.x2++x.=0 sn n 的系数矩阵 12 n 2 的行秩r<n,那么方程组有非零解
3 引理 如果齐次线性方程组 (1) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = s s s n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的系数矩阵 (1 ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = s s s n n n a a a a a a a a a A 的行秩r<n，那么方程组有非零解
证明以a1,a2…,a,代表矩阵A的行向量组 不妨设ax1,a2,…,∝r是一个极大线性无关组,那么 向量组a1202,…,a,与1,a2…等价 从而方程组(1)等价于 a1x1+a12x,+…+a1nxn=0 n ,,x,+,x2+…+l2.=0 nn anx1+an,x2+…+anxn=0 所以,方程组(1)与方程组(2)同解 方程组(2)有非零解
4 证明 以 代表矩阵A的行向量组. s , , , 1 2 不妨设 1 ,2 , ,r 是一个极大线性无关组，那么 向量组 与 等价. s , , , 1 2 r , , , 1 2 从而方程组（1）等价于 (2) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = r r r n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 所以，方程组(1)与方程组(2)同解. 方程组(2)有非零解
定理4矩阵的行秩与列秩相等 证明设矩阵(1)的行秩=r,列秩=1,先证r≤7 矩阵(1)的行向量组为a1,a2…,a,,不妨设 1929 ,ar是它的极大线性无关组,如果有 x1Cx1+x2o,+…+xor=0 63) 那么,它只有零解 注意向量方程(3)表示的齐次线性方程组
5 定理4 矩阵的行秩与列秩相等. 证明 设矩阵 (1) 的行秩=r , 列秩=r1 , 先证 . 1 r r 矩阵 的行向量组为 s , , , (1) 1 2 ，不妨设 r , , , 1 2 是它的极大线性无关组，如果有 0 (3) x1 1 + x2 2 ++ xr r = 那么，它只有零解. 注意向量方程（3）表示的齐次线性方程组