6子空间的安与颗 、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
1 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
、子空间的交 1、定义 设Ⅴ1、Ⅴ2为线性空间Ⅴ的子空间,则集合 V∩v2={m|a∈V且a∈V2 也为ⅴ的子空间,称之为v1与V2的交空间 事实上,∵0∈H,0∈V2,∴0∈H1∩V2≠Q 任取a,B∈H1∩V2,即a,B∈V,且a,B∈V2, 则有a+B∈V1,a+B∈H2,∴a+B∈nV2 同时有kaeH,ka∈V2,∴ka∈V∩V2,Vk∈P 故V∩v2为ⅴ的子空间
2 也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V = { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2 , , , , , , V V V V 即 且 1 2 1 2 则有 + + + V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 V V V V 称之为V1与V2的交空间
显然有,V∩V2=V2∩V1, V∩H2nv3=∩(2nv3 2、推广—多个子空间的交 V1,J2,…,V为线性空间的子空间,则集合 vnv2n…∩v=∩v={(|a∈v1=,2,3,…,s i=1 也为V的子空间,称为V1,2…,V的交空间
3 显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s = = = = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间
二、子空间的和 1、定义 设Ⅴ1、Ⅴ2为线性空间Ⅴ的子空间,则集合 +V2={a1+a2|a1∈H1,a2∈V2} 也为Ⅴ的子空间,称之为Ⅴ1与V2的和空间 事实上,0∈V,0∈V2,∴0=0+0∈V+V2≠ 任取a,B∈V1+V2,设a=a1+a2,B=B1+B2, 其中,a1,B1∈H1,a2,B2∈V2,则有 a+B=(a1+a2)+(1+B2) =(a1+B1)+(a2+A2)∈V1+V2 ka=k(a1+a2)=ka1+ka2∈H1+V2,Vk∈P
4 二、子空间的和 1、定义 其中， 1 1 1 2 2 2 , , , , V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P = + = + + ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = + { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) 任取 , , + V V 1 2 设 1 2 1 2 = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + + + ( ) ( ) V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0 = + + V V V V
显然有,V1+V2=V2+V1, 1+2)+V3=V1+(2+V3) 2、推广—多个子空间的和 V1,H2,…,V为线性空间ⅴ的子空间,则集合 ∑V=V1+V2+…+V {a1+a2+…+a,|ar∈V,i=1,2,3,…,s 也为V的子空间,称为V1,V2,…,V的和空间
5 显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + + = 1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +