第六节线性方程组解的结构 、齐次线性方程组解的性质 1.解向量的概念 设有齐次线性方程组 1X1+a1,x 11 1 12 2 0 Inn Xa 21~1 y,十∷+ax 22~2 2 0 nn (1) a1x1+a,2x2+…+anxn=0 若记
1 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 s s s n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 第六节 线性方程组解的结构
12 21 22 2n s2 则上述方程组(1)可写成向量方程 , a x,+…+anxn=0 2 若x1=51,x2=51,…,xn=5n为方程Ax=0的 解,则 2
2 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = s s s n n n a a a a a a a a a A = xn x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 0. a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x = , x = ,, = 为方程 Ax = 0 的 解，则
11 21 1 n1 称为方程组1的解向量,它也就是向量方程 (2)的解
3 = = 1 21 11 1 n x 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=5,x=2为Ax=0的解,则 x=51+22 也是Ax=0的解. 证明∵A51=0,AE2=0 A(1+42)=A51+A2=0 故x=51+与2也是4x=0的解
4 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x = 1 ,x = 2 为 Ax = 0 的解，则 x = 1 + 2 也是 Ax = 0 的解. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 =
(2)若x=51为Ax=0的解,k为实数,则 x=k51也是Ax=0的解 证明4(k5)=k4(51)=k0=0 证毕 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间
5 （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x = 1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0. 1 = 1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕