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二、合同的变换法 一、二次型的标准形 三、小结
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 d1x12+d2x2+…+ 它的矩阵是对角阵 ng,…,dn)=04 0 000d 水任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换? §2标准形
§2 标准形 二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ ? 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 2 2 2 1 1 2 2 n n d x d x d x + + + 1 2 1 2 0 0 0 0 ( , , , ) 0 0 0 n n d d diag d d d d =
、二次型的标准形 1、(定理1)数域P上任一二次型都可经 过非退化线性替换化成平方和的形式 证明:略(书P210) §2标准形
§2 标准形 证明： 略.(书P210) 一、二次型的标准形 过非退化线性替换化成平方和的形式. 1、（定理1）数域P上任一二次型都可经
2、二次型的标准形的定义 二次型∫(x1,x2…,xn)经过非退化线性替换 所变成的平方和形式 y+d2y2+…+tnyn 称为∫(x1,x2…,xn)的一个标准形 注:1)由定理一二次型的标准形是存在的 2)可应用配方法得到二次型的标准形 §2标准形
§2 标准形 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 2 2 2 1 1 2 2 n n d y d y d y + + + 二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经过非退化线性替换 称为 的一个标准形. 1 2 ( , , , ) n f x x x
例1、求f(x1,x2,x3)=2x1x2-6x2x3+2x1x3的标准形 解:作非退化线性替换 x1=y1+y2 2=y1-y 则f(x1,x2,…,xn=2(V1+y2)(y1-y2)-6(y1-y2)y3 +2(y1+y2)y3 2y12-2y2-4y1y3+8y2y3 n1-y)2-2y2-2y2+8 §2标准形
§2 标准形 则 解：作非退化线性替换 222 1 3 3 2 2 3 = − − − + 2( ) 2 2 8 y y y y y y 2 2 1 2 1 3 2 3 = − − + 2 2 4 8 y y y y y y 1 2 3 + + 2( ) y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ( , , , ) 2( )( ) 6( ) n f x x x y y y y y y y = + − − − 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y = − 即, 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y = + = − = 例1、求 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 的标准形