北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.6）初等矩阵

第六节初等矩阵 本节讨论两个问题: 1、初等变换与矩阵乘法的联系; 2、利用初等变换求矩阵逆的方法

本节讨论两个问题： 1、初等变换与矩阵乘法的联系； 2、利用初等变换求矩阵逆的方法． 第六节 初等矩阵

、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 定义10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

定义10 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l对调两行或两列 对调E中第,两行,即G<r),得初等方阵 ←第i行 E(i,j) 第j行

对调E中第i, j两行，即(ri rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵En()左乘A=(an)mx,得 11 12 n am←第i行 EmGi,j)a 第j行 m2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调(分r

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,右乘矩阵A, 21 AEnGG,j 2 j 2n 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i列与第j列对调(e分c

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：