§3、一性 HOME 五章二次型
第五章 二次型 三、小结 二. 实数域上的二次型的规范形 一 . 复数域上的二次型的规范形
问题的产生: 1、二次型的标准形不是唯一的,与所作的非退化 线性替换有关 如:二次到(x,x,)=2x12-6x3+2xx2 l/211 ()准非退化线姓蓍赖 00 00 得标准形f(x,x2,x3)=223-3玲2+的 3 第五章二次型
第五章 二次型 问题的产生： 1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 如：二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 2 f (x , x , x ) = 2x x −6x x + 2x x = − − 3 1 1 3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 y y y x x x (1)作非退化线性替换 得标准形 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2y1 − 2y + 6y (2) = − 3 1 1 3 2 1 0 0 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 z z z x x x 2 3 2 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 f (x , x , x ) = 2z − z + z 线性替换有关
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所 作的非退化线性替换无关 f(x,…,xn)=XAX X=Cy 作非退化线性替换 化为麻尼旦次型则有为=C:xn)=XAX 的秩簇矩雎的秩c卿珠示秩(A) 而秩(D)等于D的主对角线上不为零的元素的个数 3.问题:如何在一般数域P上,进一步“规范” 平方项非零系数的形式?(这样产生了唯一性的问题 第五章二次型
第五章 二次型 秩( ) ( ' ) ( ) D C AC A = = 秩 秩 f (x1 , , xn ) = X' AX ∵若 作非退化线性替换 X =CY Y'DY 化为标准形 ，则有 D C AC = ' , 而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数. 3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关. 定义：二次型 的秩等于矩阵A的秩，即秩 ＝秩（A）. 1 2 ( , , , ) ' n f x x x X AX = f
、复数域上的二次型的规范形 复二次型的规范形的定义 设复二次型f(X)=XAX,A"=A∈C 经过非退化线性替换X=CY,C∈Cmn可逆,得 标准形f(X)=Y(C'ACY=d1y1+…+d1yr d1}≠0,i=1,2…r,这里r=秩∫=秩(A 再作非退化线性替换 第五章二次型
第五章 二次型 一、复数域上的二次型的规范形 1. 复二次型的规范形的定义 标准形 再作非退化线性替换 2 2 1 1 ( ) '( ' ) r r f X Y C AC Y d y d y = = + + 设复二次型 ( ) ' , ' Cn n f X X AX A A = = 经过非退化线性替换 , C 可逆, 得 n n X CY C = d i r i = 0, 1 , 2 , 这里 r f A = = 秩 秩（ ）
VI 或Y=DZ, r+1 r+1 D=dig(,,…,r,,1,…,1 d, 则f(X)=z'(DC'ACD)Z=x+2+…+z 称之为复二次型∫(X)的规范形 第五章二次型
第五章 二次型 则 称之为复二次型 f X( ) 的规范形. 1 1 1 ( , , , 1 , , 1) r D diag d d = 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = , 或 Y = D Z , 2 2 2 1 2 ( ) '( ' ' ) r f X Z D C ACD Z z z z = = + + +