§9最小多项式
一、 最小多项式的定义 二、 最小多项式的基本性质
引入 由哈密尔顿一凯莱定理,VA∈P",∫(4)=AE-A 是A的特征多项式,则∫(A)=0. 因此,对任定一个矩阵A∈P",总可以找到一个 多项式∫(x)∈P[xl,使∫(4)=0.此时,也称 多项式f(x)以A为根 本节讨论,以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系 §9最小多项式
§9 最小多项式 由哈密尔顿―凯莱定理， , ( ) | | n n A P f E A = − 是A的特征多项式，则 f A( ) 0. = 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 n n A P 多项式 f x P x ( ) [ ], 使 f A( ) 0. = 多项式 f x( ) 以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称
、最小多项式的定义 定义:设A∈P,在数域P上的以A为根的多项 式中,次数最低的首项系数为1的那个多项式,称 为A的最小多项式 §9最小多项式
§9 最小多项式 一、最小多项式的定义 定义：设 , 在数域P上的以A为根的多项 n n A P 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称
二、最小多项式的基本性质 1.(引理1)矩阵A的最小多项式是唯一的 证:设g1(x),g2(x)都是A的最小多项式 由带余除法,g1(x)可表成 g1(x)=q(x)2(x)+r(x) 其中r(x)=0或O(r(x)<O(82(x) 于是有 §9最小多项式
§9 最小多项式 二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式. 1 2 g x g x ( ), ( ) 由带余除法， g x 1 ( ) 可表成 1 2 g x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 r x( ) 0 = 或 2 ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有
g1(A)=q(A)82(4)+r(4)=0 (A)=0 由最小多项式的定义,r(x)=0, 即,82(x)g1(x) 同理可得,g1(x)g2(x) 81(x)=cg2(x),C≠0 又81(x)82(x)都是首1多项式,∴C=1 故g1(x)=82(x) §9最小多项式
§9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0, = 即， 2 1 g x g x ( ) ( ). 同理可得， 1 2 g x g x ( ) ( ). 1 2 = g x cg x c ( ) ( ), 0 1 2 g A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0 又 1 2 都是首1多项式, g x g x ( ), ( ) = c 1 故 1 2 g x g x ( ) ( ). =