34正定二次型 HOME
一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 四、内容小结
正定二次型 1、定义:实二次型f(x1,x2,…,x)若对任意 组不全为零的实数c1,c2…,Cn都有 ∫(C1,C2…,Cn)>0 则称∫为正定二次型 如,二次型f(x1x2…xn)=∑x是正定的; i=1 但二次型f(x1,x2…,x)=∑x不是正定的 §4正定二次型
§4 正定二次型 一、正定二次型 则称 f 为正定二次型. 1 2 ( , , , ) 0 n f c c c 如，二次型 是正定的； 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x = = 1 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x − = = 一组不全为零的实数 c c c 1 2 , , , n 都有 1、定义：实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 若对任意
2、正定性的判定 1)实二次型XX正定 分VX∈R",若X≠0,则XAX>0 2)设实二次型 f(u,x2r.,x,)=411t2-2+.+dx2 ∫正定分d1>0,i=1,2,…,n 证:充分性显然下证必要性,若∫正定,取 X0=(0,…,0,1,0,….,0),i=1,2,…,n 则f(X0)=d1x>0,∴d2>0,t=1,2,…,n §4正定二次型
§4 正定二次型 2、正定性的判定 1）实二次型 X AX 正定 , 0 n X R X AX 若X 0,则 2）设实二次型 f 正定 0, 1,2, , = d i n i 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + 则 2 0 ( ) 0, 0, 1,2, , i i i f X d x d i n = = 0 ( ) (0, ,0, 1,0, ,0) , 1,2, , i X i n = =
3)非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明:设正定二次型f(x1,x2”…,xn)=XX 经过非退化线性替换X=CY化成 f∫(x1,x2…,xn)=Y《(CACY=g(y1,y2…,y) 任取一组不全为零的数k1,k2…,kn,令 X。=CY 则, f(c1,c2…,Cn)=XAX0=(CAC)Y=g(k1,k2y…,kn) §4正定二次型
§4 正定二次型 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 1 1 2 2 0 , n n k c k c X C k c = = = 0 0 Y Y 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f x x x Y C AC Y g y y y = = 1 2 0 0 0 0 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f c c c X AX Y C AC Y g k k k = = = 任取一组不全为零的数 k k k 1 2 , , , , n 令 证明：设正定二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX =
又由于C可逆,Y0≠0,所以X≠0 1-25···,n 不全为0 g(k1,k2…,kn)=∫(c1,C2,…,Cn)>0 g(y,y2…,yn)正定 反之,实二次型g(y1,y2,…,yn)可经过非退化 线性替换Y=CX变到实二次型∫(x,x2…,xn 同理,若8正定,则∫正定 所以,非退化线性替换不改变二次型的正定性 §4正定二次型
§4 正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， Y0 0 ，所以 X 0, 0 同理，若 g 正定，则 f 正定. 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 0 n n = g k k k f c c c 1 2 ( , , , ) n g y y y 正定. 反之，实二次型 g y y y ( , , , ) 1 2 n 可经过非退化 即 不全为0. 1 2 , , , n c c c 线性替换 变到实二次型 1 2 ( , , , ), n Y X f x x x - 1 = C