北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第五章 二次型（5.4）正定二次型

4)(定理5)n元实二次型∫(x1,x2…,xn)正定 冷→秩∫=n=P(∫的正惯性指数) 证:设∫(x1,x2,,xn)经非退化线性替换X=CY 变成标准形 ∫(x1,x2,…,xn)=41y1+d2y2+…+ 由2),/正定分d1>0,i=1,2,…n 即,f的正惯性指数p=n=秩f §4正定二次型

§4 正定二次型  秩 f ＝n＝ p （ f 的正惯性指数）. 4）(定理5) n元实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 正定 证：设 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经非退化线性替换 X CY = 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d y d y d y = + + + 变成标准形 由2), f 正定  0, 1,2, , d i n i  = 即， f 的正惯性指数p＝n＝秩 f

5)正定二次型f(x1,x2…,xn)的标准形为 d1y12+l2y2+…+dnyn2,i>0,i=1,2,…,n 规范形为 2 十…+Z, §4正定二次型

§4 正定二次型 规范形为 2 2 2 1 2 . n z z z + + + 2 2 2 1 1 2 2 , 0, 1,2, , n n d y d y d y i i n + + +  = 5）正定二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 的标准形为

二、正定矩阵 1、定义:设A为实对称矩阵,若二次型XAX 是正定的,则称A为正定矩阵 2、正定矩阵的判定 1)实对称矩阵A正定令A与单位矩阵E合同 勇定刈森却萍为+22+…+2n=2Bz 可见,正定矩 →存在可逆矩阵C,使A=CC.阵是可逆矩阵 A3与E利称魎隋粗逆矩憐任使亚对角矩阵合间 §4正定二次型

§4 正定二次型 1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X AX 正定二次型的规范形为 2 2 2 1 2 n z z z Z EZ + + + =  是正定的，则称A为正定矩阵. 2、正定矩阵的判定 2) 实对称矩阵A正定 二、正定矩阵 1）实对称矩阵A正定  A与单位矩阵E合同.  存在可逆矩阵C，使 A C C =  . A3与）E实对称矩阵 合同，即存在可逆矩阵 A正定  A与任一正对角矩阵合同 C，使 A C EC C C = =   . 可见，正定矩 阵是可逆矩阵

3)实对称矩阵A正定<A与任一正对角矩阵合同 若D > 为任一正对角矩阵,则 Vd, D 即,D与E合同 §4正定二次型

§4 正定二次型 3）实对称矩阵A正定  A与任一正对角矩阵合同. 即，D与E合同. 为任一正对角矩阵，则 若 1 2 , 0, 1,2, , i n d d D d i n d     =  =       1 1 2 2 1 1 1 n n d d d d D d d             =                      

例1、设A为n阶正定矩阵,证明 (1)A是正定矩阵 (2)k4(k>0是正定矩阵 (3)A是正定矩阵; (4)Am是正定矩阵(m为任意整数); (5)若B亦是正定矩阵,则A+B也是正定矩阵; §4正定二次型

§4 正定二次型 例1、设A为 n阶正定矩阵，证明 （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵； （2） kA k( 0)  是正定矩阵； （1） A −1 是正定矩阵； （3） A * 是正定矩阵； （4） A m 是正定矩阵（m为任意整数）；