§7子空间的直和 直和的定义 、直和的判定 三、多个子空间的直和
1 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入 设V1,2为线性空间V的两个子空间,由维数公式 dimv+dimV2=dim(V,+V2)+dim(Vnv2) 有两种情形: 1)dim(1+v2)<dimvitdimv2 此时dim(1∩v2)>0, 即,V∩V2必含非零向量
2 引入 有两种情形： 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 1 2 1 2 1) dim( ) dim dim V V V V + + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 即， 必含非零向量. V V 1 2
2)dim(1+v2)=dimv1+ dimv2 此时dim(V1∩v2)=0, v1∩v2不含非零向量,即v1nV2={0} 情形2)是子空间的和的一种特殊情况 直和
3 情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和 1 2 1 2 2) dim( ) dim dim V V V V + = + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 = V V 1 2 不含非零向量，即 V V 1 2 = 0
、直和的定义 设V1,V为线性空间V的两个子空间,若和V+V2 中每个向量a的分解式 a=a1+a2,a1∈V1,C2∈ 是唯一的,和V+V就称为直和,记作VV2 注:①分解式a=a1+a2唯一的,意即 若有a=a1+a2=B1+B2,a1月∈V1,a2,月2∈V 则a1=B,a12=B2
4 一、直和的定义 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，若和 V V 1 2 + 1 2 1 1 2 = + , , V V 是唯一的，和 就称为直和，记作 1 2 V V . V V 1 2 + 注: 若有 , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = + = + , V V 则 1 1 2 2 = = , . ① 分解式 = +1 2 唯一的，意即 中每个向量 的分解式
②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立.例如,R3的子空间 H=L(61,E2),V2=L(a2,63),V=L(E3) 这里,E1=(1,0,0),E2=(0,1,0),63=(0,0,1) 在和V+V2中,向量的分解式不唯一,如 (2,2,2)=(2,3,0)+(0,-1,2)=(2,1,0)+(0,1,2) 所以和V1+V2不是直和
5 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 1 1 2 2 2 3 3 3 V L V L V L = = = ( , ), ( , ), ( ) 1 2 3 这里， === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 在和 V V 1 2 + 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) = + − = + 所以和 V V 1 2 + 不是直和