第十章 第四节品数展开成幂级数 (Expanding to power series) 两类问题：在收敛域内 笨级数∑a,”.求和 0 和函数S(x) n=0 展开 本节内容：一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 函数展开成幂级数 第十章 (Expanding to power series) 两类问题 : 在收敛域内 和函数 xS )( n n n ∑ xa ∞ = 0 幂级数 求 和展 开 本节内容 : 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数(Taylor series) 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f)=fx)+f(Xx-x)+f"0(x-0)2 21 ++(x-r+R,() n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中 R=aDx-,（传在x与之间 (n+1)川 称为拉格朗日余项. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、泰勒级数 f x = f x 0 )()( + f ′ − xxx 00 ))(( + 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( "++ − R x)( + n 其中 R n x)( = ( ξ 在 x 与 x 0 之间 ) 称为拉格朗日余项 . 1 0 )1( )( !)1( )( + + − + n n xx n f ξ 若函数 )( 在xxf 0的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : （Taylor series ）
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 1n)+f'ox-n)+o）(x-o) 21 ++max-+. n! 为f心)的泰勒级数. 当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数. 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(心)？ 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 f x 0 )( + f ′ x x − x00 ))(( + 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ "++ n +− " n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 为f (x ) 的泰勒级数 . 则称 当 x 0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0 )( 在xxf 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定理1设函数fx)在，点x的某一邻域U(x)内具有 各阶导数，则f(心)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是fc)的泰勒公式中的余项满足：lim Rn(x)=0. 拉三. n=( ◆w会-x f(x)=S,+(x)+R(x) lim R (x)=lim[f(x)-S+1(x)]=0,xeU(xo) n->o0 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 各阶导数, )( 0 ∪ x 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足 : = .0)(lim→ ∞ R x n n 证明 : ,)( ! )( )( 0 0 0 )( n n n xx n xf xf = ∑ − ∞ = 令 )()()( 1 f x S x R x = n + + n = → ∞ R n x)(limn [ )()(lim ] 1 f x S x n n + → ∞ − = ,0 )( 0 ∈ ∪ xx k n k k n xx k xf xS )( ! )( )( 0 0 0 )( 1 = ∑ − = + )( 0 ∈ ∪ xx 设函数 f (x) 在点 x 定理 1 0 的某一邻域 内具有
定理2若fx)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证：设f(心)所展成的幂级数为 f(x)=a+ax+a2x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 ao=f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+nanx"-1+.;a1=f'(0) f"(x)=21a2+.+(n-1)anx”-2+;a2=i,∫"(0) fm(x)=nlan+. an=mfD(0) 显然结论成立· 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同 . 证 : 设 f (x) 所展成的幂级数为 )( ),(, 2 210 RRxxaxaxaaxf n " n " −∈+++++= 则 2)( ; 1 ′ 21 " n xnaxaaxf n − ++++= " )0( 1 a = f ′ )1(!2)( ; 2 ′′ 2 " n xannaxf n − +−++= " )0( !2 1 2 = fa ′′ " " " ;!)( n)( anxf n += " )0()( ! 1 n n n = fa " " " 显然结论成立 . )0( 0 a = f 定理 2