二、y”=x,y)型的微分方程 这种方程的特点是不显含未知函数y,求解的方法是： 设y=p(x),则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C1)dx+C2 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、 型的微分方程 y′′ ′ = f xy (, ) 设 ′ = xpy ,)( 则 ′′ = py ′, 原方程化为一阶方程 p′ = f x p),( 设其通解为 ),( C1 p = ϕ x 则得 ),( C1 y′ = ϕ x 再一次积分, 得原方程的通解 1 2 = d),( + CxCxy ∫ ϕ 这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：
(1+x2)y"=2xy 例3求解 (由课本例3改编) yx=0=1,yx=0=3 解：设y=p(x),则y”=p',代入方程得 (1+x2)p'=2xp分离变量dp-2xd p(1+x2) 积分得lnp=ln(1+x2)+nC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 + ′′ = 2)1( yxyx ′ 2 ,1 y x = 0 = 3 y′ x = 0 = 解: 设 ′ = py x),( 则 ′′ = py ′, 代入方程得 2)1( pxpx2 + ′ = 分离变量 )1( d2d 2 x xx p p + = 积分得 ,ln)1(lnln 1 2 ++= Cxp )1( 2 1 即 += xCp ,3 利用 y′ x = 0 = ,3 得 C1 = 于是有 )1(3 2 ′ += xy 两端再积分得 2 3 3 ++= Cxxy 利用 ,1 y x = 0 = ,1 得 C 2 = 13 3 xxy ++= 因此所求特解为 例3 求解 （由课本 例 3改编）