第十章 第二节常数项级数的审敛法 Interrogate of constant term series) 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第二节 常数项级数的审敛法 第十章 （Interrogate of constant term series ） 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习
一、正项级数及其审敛法 (Interrogate of positive term series) 若4n≥0，则称∑4n为正项级数. n=lco 定理1正项级数∑4n收敛一部分和序列Sm n=] (n=1,2,.)有界. 证：“一”若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界. n=l 6 一”4n≥0，.部分和数列{Sn}单调递增， 99 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛. n=l 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、正项级数及其审敛法 若 ≥ ,0 n u ∑ ∞ n = 1 n u 定理 1 正项级数 ∑ ∞ n = 1 n u 收敛 部分和序列 n S n = "),2,1( 有界 . 若 ∑ ∞ n = 1 n u 收敛 , 则{ }收敛, n S ≥ ,0 n ∵ u ∴部分和数列 { S n } { S n } 有界, 故 { S n } ∑ ∞ n = 1 n 又已知 收敛 , 从而 u 也收敛 . 故有界 . 则称 为正项级数 . 单调递增, 证: “ ” “ ” (Interrogate of positive term series)
0 定理2（比较审敛法） 设∑4n,∑n是两个正项级数， n=1n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有4n≤kyn(常数k>0), 则有 (山)若强级数∑yn收敛，则弱级数∑4n也收敛； n=l n=l 00 (2)若弱级数∑山n发散，则强级数∑也发散. n=l n=l 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切n∈Z+,都有un≤kvn, 令Sn和on分别表示弱级数和强级数的部分和，则有 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 , + ∈ Zn , nn 都有 u ≤ k v 设 , 1 ∑ ∞ n = n u ∑ ∞ n = 1 n v 且存在 , + ∈ ZN 对一切 n > N, 有 (1) 若强级数 ∑ ∞ n = 1 n v 则弱级数 ∑ ∞ n = 1 n u (2) 若弱级数 ∑ ∞ n = 1 n u 则强级数∑ ∞ n = 1 n v 证 : 设对一切 S n 和令 σ n 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . nn v 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 u ≤ k 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 定理2 (比较审敛法 )
Sn≤kon 00 (1)若强级数∑yn收敛，则有o=lim n->oo n=l 因此对一切n∈Z,有Sn≤ko 由定理1可知，弱级数∑4，也收敛. n=l 00 (2)若弱级数∑，发散，则有1imSn=o, n=1 n→o∞ 因此imo=0,这说明强级数∑n也发散. n→o n=l 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 (1) 若 强级数∑ ∞ n = 1 n v 则有 n n σ σ → ∞ = lim 因此对一切 , + ∈ Zn 有 n S 由定理 1 可知 , ∑ ∞ n = 1 n u (2) 若 弱级数 ∑ 则有 ∞ n = 1 n u = ∞,lim→ ∞ n n S 因此 = ∞ ,lim ∞→ n n σ 这说明 强级数 ∑ ∞ n = 1 n v 也发散 . ≤ k σ n S n ≤ k σ 也收敛 . 发散, 弱级数 收敛
定理3（比较审敛法的极限形式）设两正项级数 0 ∑4，∑n满足1im=L,则有 n=l n=l n-→oVn (1)当0<1<∞时，两个级数同时收敛或发散； 00 00 (2)当1=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=l n=l 00 00 ③)当1=o且∑yn发散时，∑4n也发散. n=l n=l 证：据极限定义，对ε>0，存在N∈Z+,当n>N时， 路-1<8(*0) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 , 1 ∑ ∞ n = u n ∑ ∞ n = 1 n v l,lim v u n n n = ∞→ 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 , 1 且 ∑ 收敛时 ∞ n = n v ; 1 ∑ 也收敛 ∞ n = u n (3) 当 l = ∞ , 1 且 ∑ 发散时 ∞ n = n v . 1 ∑ 也发散 ∞ n = u n 证 : 据极限定义 , 对 ε > ,0 , + 存在 ∈ ZN l <− ε n n v u l ≠ ∞ )( 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时 , 当 > Nn 时, 定理3 (比较审敛法的极限形式 )