第十章 第三节 ·幂级8(Power Series) 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第三节 幂级数 第十章 （Power Series ） 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结与思考练习
一、函数项级数的概念 设un(x)(n=1,2,.)为定义在区间I上的函数，称 0 ∑4n()=41(x)+(x)+.+4n()+ n=1 为定义在区间I上的函数项级数. 对x∈I,若常数项级数∑山，(xo)收敛，称x为其收 n=1 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域； ●● 若常数项级数∑4(xo)发散，称x为其发散点，所有 h=1 发散点的全体称为其发散域. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、函数项级数的概念 设 ∑ ∞ = ++++= 1 21 )()()()( n n n " xuxuxuxu " 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 0 x ∈ I , 若常数项级数 ∑ ∞ = 1 0 )( n n xu 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 ∑ 敛点 , ∞ = 1 0 )( n n xu 收敛 , 发散 , 所有 0 称 x 0 称 x 为其发散点, 为定义在区间 I 上的函数, 称 为其 收 nxu = "),2,1()( n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 00 Sx)=∑4n(x) n=l 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 Sn(x)=∑4(w) k=1 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x),lim r (x)=0 n->oo n-→0 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 xS ,)( 为级数的和函数 , 并写成 )()( 1 xuxS n ∑ n ∞ = = 若用 S x)( n )()( 1 xuxS n k n ∑ k = = 令余项 xr S x S x)()()( n = − n 则在收敛域上有 S n x S x ,)()(limn = ∞→ = 0)(lim→ ∞ xrn n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
0 例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2+.+x”+. n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 r 0 n=0 它的发散域是(-0，-1]及[1，+0)，或写作x≥1. 又如，级数 ”x0),当口胶敛 但当0<x≠1时，l1imun(x)=oo,级数发散； n->o0 所以级数的收敛域仅为x=1. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 它的收敛域是 − ,)1,1( − ∞ − + ∞），及 ,1[]1,( ∑ +++++= "" ∞ = n n n xxxx 2 0 1 x x n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 它的发散域是 或写作 x ≥ .1 又如, 级数 ,)0( 0 2 ≠ + ∑ ∞ = − x n xx n nn = ∞,)(lim→ ∞ xun n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 x = .1 当 x ∈ − 时,)1,1( 有和函数 当 x = 时收敛,1 但当 < x ≠ 时,10 例如, 等比级数
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x0)”=a+a(x-x0)+a2(x-0)2+ n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,)称 为幂级数的系数. 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anr”=a+4x+☑x2++a,x”+. n=0 例如，春级数立x上<1即是此种情形 n=0 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 二、幂级数及其收敛性 形如 ∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa +−+−+= 2 02010 xxaxxaa )()( 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 na = "),1,0( n 下面着重讨论 0 x 0 = ∑ ∞ n = 0 n n xa 210 2 " n xaxaxaa n +++++= " 例如, 幂级数 1, 1 1 0 < − ∑ = ∞ = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 " n xxa 0 )( n +−+ " 称