第十章无穷级数(Infinite Series) 主要内容 第一节常数项级数的概念与性质 第二节常数项级数的审敛法 第三节幂级数 第四节函数展开成幂级数 第五节函数的幂级数展开式的应用 第六节傅立叶级数 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第十章 无穷级数 （Infinite Series ） 主要内容 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
第十章 第一节常激项级数的糯念和性质 Conception and property of constant term series) 一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 第一节 常数项级数的概念和性质 第十章 （Conception and property of constant term series ） 一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
一、常数项级数的基本概念 定义给定一个数列山1，u2,山，.，n,.将各项依 00 次相加，简记为∑un,即 0 n=1 ∑4n=山1+42+4+.+4，+. n=l 称上式为无穷级数，其中第n项un叫做级数的一般项， 级数的前n项和 Sn=∑4k=4+42+吗+.+n k= 称为级数的部分和.若lim Sn=S存在，则称无穷级数 n->oo 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 一、常数项级数的基本概念 定义 给定一个数列 321 uuuu n , "" , 1 ∑ 将各项依 ∞ n = n u 即 ∑ ∞ n = 1 n u = + + 321 + + uuuu n +"" 称上式为无穷级数，其中第 n 项 n u 叫做级数的一般项 , 级数的前 n 项和 ∑ = = n k kn uS 1 n = + + + " + uuuu 321 若 lim SS 存在, n n 次相加, 简记为 称为级数的部分和 . = → ∞ 则称无穷级数
收敛，并称S为级数的和，记作 00 S=∑4n n=1 若lim S不存在，则称无穷级数发散. n->oo 当级数收敛时，称差值 In =S-Sn=un+l+un+2+. 为级数的余项.显然 lim=0 n->0 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 ∑ ∞ = = n 1 n uS 收敛 , 并称 S 为级数的和 , 记作 当级数收敛时, 称差值 n = − = + + uuSSr nnn +21 + " 为级数的余项 . 若 lim 不存在, n n S ∞→ 则称无穷级数发散 . 显然 = 0lim→ ∞ n n r
例1判别无穷级数∑n=1+2+3+.+n+.的敛散性。 n=l 解：由于3，=1+2++n=n+）,则 2 lims,lim (n+1) 二0 n→co n-→0 2 所以该级数发散， 例2讨论级数1-1+1-1+.+(-1)”+.的敛散性. 解：部分和数列s=1,52=1-1=0,S3=1-1+1=1, .,Sn=1-1+1-1+.+(-1)”-1. 易知，当n为奇数时，sn=1;当n为偶数时，Sn=0. 所以没有极限，故原级数发散. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 例 1 判别无穷级数 1 123 n n n ∞ = ∑ = +++ ++ " " 的敛散性． 解：由于 ( 1) 1 2 2 n n n s n + =+ + + = " , 则 ( 1) lim lim 2 n n n n n s →∞ →∞ + = = ∞ 所以该级数发散． 例 2 讨论级数 1 1 1 1 1 ( 1) n − − + − + +− + " "的敛散性． 解：部分和数列 1s = 1， 2 s =11 0 − = ， 3 s =1111 −+= ， " ， 1 1 1 1 1 ( 1) n n s − = − + − + +− " ． 易知，当 n 为奇数时， 1 n s = ；当 n 为偶数时， 0 n s = ． 所以没有极限，故原级数发散．