二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 ∑：z=z(x,y),(x,y)eDxy f化，乃)在∑上连续，则曲面积分 小2fx,八，zds存在，且有 ∬2fc,yds (AOk)xy (5k,7k,5k】 ++:dxdy 证明：由定义知 ∬2fc,a)dS=lim∑f(5,n,5)△S。 2→0 k=
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, f x y z S ( , , )d 存在, 且有 2 2 ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , )d d x y x y D f x y z x y z x y z x y x y 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 0 1 lim ( , , ) n k k k k k f S Dxy ( , , ) k k k k x y ( )
而AS.=∬aa,V1+z(x)+z,(,月ddy =√1+z2(5,)+z,2(5,)(△o)x .j∬fx,yz)dS =∑f5na,z5,7》 V1+z2(5,)+z,2(5,)(△o)x =1im∑f(5,n,3(5,7s》 (②光滑) 2-→0 k=1 √1+zx2(5,n)+乙，2(5,7)（△o)xy =。f(c,zx,y√1+z2(c,y)+z,2c,)dxdy
2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x k k y k k k x y z z 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x k k y k k k x y z z 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x k k y k k k x y z z 2 2 ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , )d d x y x y D f x y z x y z x y z x y x y f x y z S ( , , )d 而 ( 光滑 )
其他情况 1. 若曲面Σ：y=y(x,) 则∬f(x,y,z)S flx,y(x,z),l+y2+y"dxdzs Dx 2.若曲面2：x=x(0y,z) 则 ∬f(x,y,z)ds =J∬fx(0,z少，2小V1+X2+x
[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z 则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z f (x, y,z)dS 2. ( , ) 若曲面 ： x x y z 则 1. : ( , ) 若曲面 y y x z 其他情况
例1，计算面积分小儿，其中工是球面+少+女 =a被平面z=h(0<h<a)截出的顶部. 解：∑：z=Va2-x2-y2,(c,)eDy Dyx2+y2≤a2-h2 +2+区-后-少 -aa=a1,2 =o-pm]=2xah月
Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 : D x y a h x y 2 2 2 2 2 1 x y a z z a x y d S z 2 2 2 2 2 0 0 d d a h a a 2 2 1 2 2 2 ln( ) 2 0 a h a a 2 2 2 d d Dx y a x y a x y o x z y h a
补充 设分片光滑的曲面关于yOz面对称，则 ∬fx,ds 0, 当f(x,z)为x的奇函数 =2fx,%s.当fx,为x的偶函数 其中∑1：x=x(y,2)≥0
补充 设分片光滑的 f x y z S ( , , )d x的奇函数 x的偶函数 1 2 ( , , )d . f x y z S 1 其中 : ( , ) 0. x x y z 0, 曲面Σ关于yOz面对称, 则 当f x y z ( , , )为 当f x y z ( , , )为