求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步解方程组f(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解，得所有驻点 第二步 对于每一个驻点(x0), 求出二阶偏导数的值A、B、C, 第三步定出AC-B2的符号，再判定是否是极值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x, y) = 0, x f (x, y) = 0 y 求函数z = f ( x , y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 求出实数解，得所有驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值A、B 、C. 第三步 定出AC−B2的符号，再判定是否是极值
主进 苏本 例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点 f(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 ∫(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B Lxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值：
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = A 0
在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(-6)<0,∴.∫(1,2)不是极值； 在点(-3,0)处A=-12,B=0,C=6, AC-B2=-12×6<0,∴f(-3,0)不是极值： 在点(-3,2)处A=-12,B=0,C=-6 AC-B2=-12×(-6)>0,A<0, ∴.f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxv(x,y)=O,Jyy(x,y)=-6y+6 B
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C