§8.3平面及其方程 一、 曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 四、两平面的夹角
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 四、两平面的夹角 §8.3 平面及其方程 二、平面的一般方程
、曲面方程的概念 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x,z)=0 F(x,y,2)=0 S 有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足 方程Fx,y,)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不 满足方程Fx,y,z)=0, 那么，方程F(x,y,z)=O就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫 做方程Fx,y,z)=O的图形
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫 做方程F(x, y, z)=0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足 方程F(x, y, z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不 满足方程F(x, y, z)=0, 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 有下述关系:
空间曲线方程概念： 空间曲线可视为两个曲面的交线，应该同时满 足这两个曲面的方程，所以 F(x,y,z)=0 G(,y,z)=0 G(x,y,z)=0 F(x,y,2)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 空间曲线方程概念: 空间曲线可视为两个曲面的交线, 应该同时满 足这两个曲面的方程，所以 2 S L F(x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0 S1 例如, 方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2
二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(xo,y0,20)且垂直于非零向 量n三(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 M0M=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 称①式为平面的点法式方程，称为平面Π的法向量
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z) , 法向量. 量 n = (A , B , C), M M ⊥ n 0 0 M 0M n = 则有 故 称 n 为平面 的
苏本堂 例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n n=M1M2×M1M3 1方 -34 -6 -23-1 =(14,9,-1) 又M1∈Ⅱ，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 i j k = 例1.求过三点 , 又 M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M 2 M1M 3