例4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、 C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关 系表示下列事件： A:“至少有一人命中目标”：AUBUC A,:“恰有一人命中目标”：ABCUABCABC A:“恰有两人命中目标”：ABC ABCABC A,:“最多有一人命中目标”：ABC UABCUABCUABC 或BCUACUAB A,:“三人均命中目标”：ABC A,:“三人均未命中目标”：AG 特别地，由于A=., A=AAA∩A∩A∩A 因此， ABCUABCUABCUABC ABC UABC UABCUABC UABCUABC =(ABCUABC)U(ABCUABC)U(ABCUABC) =(AABCIU(BUB)ACIUKCUC)AB] =BCUACUAB 7.概率的统计定义 如何描述事件A出现的可能性的大小（概率）？ 频率一般与试验 次数N有关：并 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事 且在N固定时 作若干组N次试 件A发生的次数A称为事件A发生的频数，比值n,/n称 验，各组频率一般 也不相同.但当N 很大时，频率知县 为事件A发生的频率，并记为∫(A)。 现某种稳定性，即 Fw(A)在某常数 附近摆动：且当N 无限增大时，一般 说来，频率会“趋 向”这个常数， 种规律称为随机 现象的统计规 律.很自然，把
例４：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、 C 分别表示甲、乙、丙命中目标，试用 A、B、C 的运算关 系表示下列事件： A ABC A ABC BC AC AB A ABC ABC ABC ABC A ABC ABC ABC A ABC ABC ABC A A B C : : : : : : : : : : : : 6 5 4 3 2 1 “三人均未命中目标” “三人均命中目标” 或 “最多有一人命中目标” “恰有两人命中目标” “恰有一人命中目标” “至少有一人命中目标” 特别地，由于 A = A A A A， A = A A A A A 因此， BC AC AB A A BC B B AC C C AB ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC = = = = [( ) ] [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) 7. 概率的统计定义 如何描述事件 A 出现的可能性的大小(概率)？ 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事 件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数，比值 nA / n 称 为事件 A 发生的频率，并记为 f (A) n 。 频率一般与试验 次数 N 有关；并 且在 N 固定时, 作若干组 N 次试 验，各组频率一般 也不相同．但当 N 很大时，频率却呈 现某种稳定性，即 F (A) N 在某常数 附近摆动；且当 N 无限增大时，一般 说来，频率会“趋 向”这个常数．这 种规律称为随机 现 象 的 统 计 规 律． 很自然，把
频率所稳定到的 那个常救表示其 件A在一次试 中发生的可能性 的大小，称作概率 (probability),i记 为PA). 从数据结果恶意 例5：蒲丰曾投掷硬币4040次，得正面2048次，得到正 看出：抛硬币次数 面的频率为0.5069： n增大时，须密 ∫(H)呈现稳定 皮尔逊曾投掷硬币12000次，得正面6019次，得 性，即∫(H)总是 到正面的频率为0.5016：投掷24000次，得正面12012次， 在0.5附近摆动 得到正面的频率为0.5005 并逐渐稳定于 0.5。 虽然我们并不 事件A发生的频率的稳定中心P(A)称为事件A发生的 能由概率的统计 概率。概率的这种定义称为统计定义 定义确切 出 个事件的概率， 但是它提供了 注1：频率与试验有关，但概率是该事件的客观属性。 种估计概率的方 法，颍率与概率的 注2：稳定中心不是极限 系就像物体长 注3：给出了一个求概率的方法。 度 测量 与该 注4：理论依据。 长度之间的关系： 物体的长度是客 现存在的，是该物 (灵活掌握内容，概率的性质主要在下一节课讲解) 体的固有属性，测 量值是它的某种 从概率的统计定义立即可以看出，概率具有下述三个基 程度的近似值.同 本性质： 样，随机事件发生 1.非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0： 的可能性的大小 2.规范性：对于必然事件S,有P(S=1上； 一概率是随机 3.可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的事件， 事件的客观属性， 即对于i≠j,AA,=中，i=12,则有 多次随 试验所 得的频率则是它 P(.)P(A)+P(A)+. 的某种程度的近 似
例５：蒲丰曾投掷硬币 4040 次，得正面 2048 次，得到正 面的频率为 0.5069； 皮尔逊曾投掷硬币 12000 次，得正面 6019 次，得 到正面的频率为 0.5016；投掷 24000 次，得正面 12012 次， 得到正面的频率为 0.5005。 事件 A 发生的频率的稳定中心 P(A)称为事件 A 发生的 概率。概率的这种定义称为统计定义． 注 1：频率与试验有关，但概率是该事件的客观属性。 注 2：稳定中心不是极限。 注 3：给出了一个求概率的方法。 注 4：理论依据。 （灵活掌握内容，概率的性质主要在下一节课讲解） 从概率的统计定义立即可以看出，概率具有下述三个基 本性质： 1．非负性：对于每一个事件 A，有 P(A) 0 ; 2．规范性：对于必然事件 S，有 P(S) = 1 ; 3．可列可加性：设 A1，A2，.是两两互不相容的事件， 即对于 i j， Ai Aj = ，i, j = 1,2, ，则有 P(A1 A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) + 频率所稳定到的 那个常数表示事 件 A 在一次试验 中发生的可能性 的大小，称作概率 (probability), 记 为 P(A)． 从数据结果恶意 看出：抛硬币次数 n 增大时，频率 f (H) n 呈现稳定 性，即 f (H) n 总是 在 0.5 附近摆动， 并 逐 渐 稳 定 于 0.5。 虽然我们并不 能由概率的统计 定义确切地定出 一个事件的概率， 但是它提供了一 种估计概率的方 法．频率与概率的 关系就像物体长 度的测量值与该 长度之间的关系： 物体的长度是客 观存在的，是该物 体的固有属性，测 量值是它的某种 程度的近似值．同 样，随机事件发生 的可能性的大小 ——概率是随机 事件的客观属性， 多次随机试验所 得的频率则是它 的某种程度的近 似．
第二讲等可能概型的概率 §3频率与概率 1.概率的公理化定义：若对随机试验E所对应 的样本空间S中的每一事件A,均赋予一实数 概率的统计定义： PA),集合函数PA)满足条件： 把频率所稳定到的那个常数 表示事件A在一次试验中发 (I)PA)≥0： 生的可能性的大小，称作 (2)P(S)=1: 率(probability),记为P(A): (3)可列可加性：设A1,A2,是两两互 不相容的事件，即AA=p,(≠j,i,j=1,2, 有 P(AUAU.)=PAHP(A2H. 则称P(A)为事件A的概率。 2.概率的性质 (1)P()=0: 概率性质的证明： (1)P(UU.）=P(p) (2)有限可加性：设A,A2,.,Aa,是n =P(p十P(十=nP(o)】 个两两互不相容的事件，即AA=,(≠j)i,j =1,2,n,则有 (3)由ACB知， P4UUA)=∑P(4) B=AU(B-A),且 A(B-A)= (3)单调不减性：若事件ACB,则 由概率的有限可加性得 P(B-A)=P(B)-P(A):P(B)zP(A) P(B)=P(A)+P(B-A) (4)差事件概率：对于任意两事件A和B P(B-A)=P(B)-P(AB) .·(B-A)UAB=B 且(B-A)OAB=p .P(B)=P(B-A)+P(AB)
第二讲 等可能概型的概率 1．概率的公理化定义：若对随机试验 E 所对应 的样本空间 S 中的每一事件 A，均赋予一实数 P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) P(A) ≥0； (2) P(S)＝1； (3) 可列可加性：设 A1，A2，., 是两两互 不相容的事件，即 AiAj＝ ，(i j), i , j＝1, 2, ., 有 P( A1 A2 )＝P(A1)+P(A2)+. 则称 P(A)为事件 A 的概率。 2. 概率的性质 （1） P() = 0 ； （2）有限可加性：设 A1，A2，.，An，是 n 个两两互不相容的事件，即 AiAj＝ ，(i j), i , j ＝1, 2, ., n , 则有 = = n i P A An P Ai 1 1 ( . ) ( ) （3）单调不减性：若事件 A B，则 P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B) P(A) （4）差事件概率：对于任意两事件 A 和 B， P(B − A) = P(B) − P(AB) (B − A) AB = B 且 (B − A) AB = P(B) = P(B − A) + P(AB) §3 频率与概率 概率的统计定义： 把频率所稳定到的那个常数 表示事件 A 在一次试验中发 生的可能性的大小，称作概 率(probability), 记为 P(A)． 概率性质的证明： （1）P( )=P( ) =P( )+P( )+.=n P( ) （3）由 A B 知， B=A (B-A),且 A (B-A)= , 由概率的有限可加性得 P(B) = P(A)+ P(B-A) A B S A B S B A S
(5)对于任一事件A,PA)s1 (5):AnA=组AUA=S .1=PS)=P(4A)+PA) (6)互补性（逆事件的概率）：对于任一事件 A,有P(A)F1-P(A) (6).AUB=AU(B-AB) (7)加法公式：对任意两事件A、B,有 且An(B-AB)=P P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) .P(AUB)=P(A)+P(B-AB) 该公式可推广到任意n个事件A,A2,.,A =P(A)+P(B)-P(AB) 的情形。例如， P(4U4UA)-P(A)+P(4)+P(A)- 一般，对于任意n个事件 P(AA)-P(AA)-P(AA) A1,A2,An有 +P(AAA) P(AAU.A) =2P(A)-∑PA4)H +44A)+.+ (-l)-P(A,42.An) 3.古典概型 §4古典概型 若某试验E满足 1. 试验的样本空间只包含 1.有限性：样本空间S={e1,e2,.,en} 有限个元 2.试验中每个基本事件发 2.等可能性（公认）：P({e1)FP({eF=P({en). 生的可能性相等。 则称E为古典概型，也叫等可能概型 由概率的规范性知，PS戶nP({e上1， 因此，P({etIa 古典概型中的概率： 设事件A中所含样本点个数为N(A),以N(S) 记样本空间S中样本点总数，则有
（5）对于任一事件 A，P(A) 1 （6）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件 A，有 P( A )=1-P(A) （7）加法公式：对任意两事件 A、B，有 P(A B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意 n 个事件 A1，A2，.，An 的情形。例如， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 P A A A P A A P A A P A A P A A A P A P A P A + − − = + + − 3. 古典概型 若某试验 E 满足 1.有限性：样本空间 S＝{e1, e2,.,en}; 2.等可能性（公认）：P({e1})=P({e2})=.=P(｛en｝). 则称 E 为古典概型，也叫等可能概型。 由概率的规范性知，P(S)=nP({ei})=1， 因此，P({ei})=1/n 古典概型中的概率: 设事件 A 中所含样本点个数为 N(A) ，以 N(S) 记样本空间 S 中样本点总数，则有 ( ) ( ) ( ) N S N A P A = （5） A A = 且A A = S 1 = P(S) = P(A) + P(A) （6） A B = A (B − AB) 且 A (B − AB) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P AB P A B P A P B AB = + − = + − 一般，对于任意 n 个事件 A1,A2,.,An,有 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 2 n n i j k n i j k i j n i j n i i n P A A A P A A A P A P A A P A A A − − − + + + = − + §4 古典概型 1. 试验的样本空间只包含 有限个元素； 2. 试验中每个基本事件发 生的可能性相等
例1：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女 的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少？ 解法1：设事件A表示“至少有一个男孩”，以H 表示男孩，T表示女孩，则 S=(HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT), A=(HHH,HHT,HTH,HTT,THH.THT.TTH), 思考：该题中的样本空间$ P(A)-N(A_7 为什么不是{皿，TTT,HTT, N(S)8 TH?(非等概率) 解法2：设事件A表示“至少有一个男孩”，则事 件A表示三个孩子均为女孩：以H表示男孩， 另外，当样本空间的元 素较多时，我们一般不再将S T表示女孩，则 中的元素一一列出，而只需 S=(HHH,HHT,HTH,HTT.THH,THTTTH,TTT), 分别求出S中与事件A中包 含的元素个数（即基本事件 A=(TTT), 的个数)即可。 不=阁1-g名 4.基本原理 乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有m种方法，第二步有m种方法， 则完成这件事共有n12种方法。 分析：将n只球放入N个盒 加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一 子中去，每一种放法是一基 本事件。易知，这是古典概 种途径有m种方法，第二种途径有m种方法， 型问题。因每一只都可以放 则完成这件事共有n1+n2种方法。 入N个合资中的任意一个盒 子，故共有 N×Nx.×N=N"种不同 例2：将n只球随机放入NN≥n)个盒子中去， 的放法，而每个盒子中最多 试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的 放一只球共有 数量不限)。 N×(N-)×.x[W-(n-1 解：设事件B表示“每个盒子之多有一只球的 种放法。 放法”，则
例１：有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女 的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少? 解法 1:设事件 A 表示“至少有一个男孩”，以 H 表示男孩，T 表示女孩，则 S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}， A={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH}， P(A)= 8 7 ( ) ( ) = N S N A 解法 2:设事件 A 表示“至少有一个男孩”，则事 件 A 表示三个孩子均为女孩；以 H 表示男孩， T 表示女孩，则 S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}， A ={TTT}， P(A)=1-P( A )=1- 8 7 8 1 1 ( ) ( ) = − = N S N A 4. 基本原理 乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有 n1 种方法，第二步有 n2 种方法， 则完成这件事共有 n1n2 种方法。 加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一 种途径有 n1 种方法，第二种途径有 n2 种方法， 则完成这件事共有 n1+n2 种方法。 例２：将 n 只球随机放入 N(N n )个盒子中去， 试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的 数量不限）。 解：设事件 B 表示“每个盒子之多有一只球的 放法”，则 思考：该题中的样本空间 S 为什么不是{HHH,TTT, HTT, THH}? (非等概率) 另外，当样本空间的元 素较多时，我们一般不再将 S 中的元素一一列出，而只需 分别求出 S 中与事件 A 中包 含的元素个数（即基本事件 的个数）即可。 分析：将 n 只球放入 N 个盒 子中去，每一种放法是一基 本事件。易知，这是古典概 型问题。因每一只都可以放 入 N 个合资中的任意一个盒 子，故共有 n N N N = N 种不同 的放法，而每个盒子中最多 放一只球共有 N (N −1)[N − (n −1)] 种放法