六、推荐教材与参考资料 教材 盛骤，等.概率论与数理统计.北京：高等教有出版社，1989 参考资料： [复且大学.概率论.北京：人民教有出版社，1979 [2复旦大学数理统计.北京：人民教育出版社，1979 [3)王梓坤.概率论及其应用.北京：科学出版社，1979 (执笔人：宋月审核人：于力)
教材： 盛骤，等. 概率论与数理统计. 北京：高等教育出版社，1989 参考资料： [1] 复旦大学. 概率论. 北京：人民教育出版社，1979 [2] 复旦大学. 数理统计. 北京：人民教育出版社，1979 [3] 王梓坤. 概率论及其应用. 北京：科学出版社，1979 (执笔人：宋 月 审核人：于 力)
第一讲随机事件与概率 概率论与数理统计 1.概率论是研究什么的？ 第一章概率论的基本概念 研究和揭示随机现象统计规律性的科学。 §1随机试验 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定 自然界和补会上发生的现象是名利 类现为确岸性现象 性，但在大量重复试验中结果又具有统计规 多样的，有 在一定条件下必然发生的现象 律性的现象。 向空中抛一物体必然落向地面： 水加热到100℃必然沸腾： 2.随机试验(E):具有以下特点的试验称 异性电荷相吸引： 为随机试验。 放射性元素发生蜕变： 特点： (1).可在相同条件下重复进行： 还有一类为随机现象：在试验或 (2).试验可能结果不止一个，但能确定所有 观察前无法预知出现什么结果。 的可能结果： 抛一枚硬币结果可能正面（或反 (3),一次试验之前无法确定具体是哪种结 面)嘲上： 果出现。 向同一目标射击，各次弹着点都 例1： 不相同： E1抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表某地区的日平均气温： 示出正面和反面： 掷一颗骰子，可能出现的点数： E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现 的情况： E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的 统计规律性： 多次重复抛一枚硬币得到正面 次数 朝上的结果大致有一半： E4:掷一颗骰子时出现的点数： 同一门大炮射击同一目标的着 E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤 弹点大致在目标附近且按照一 次数： 定的规律分布： E6:在一批灯泡中任取一只，测试其寿命： E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低温 度
第一讲 随机事件与概率 1．概率论是研究什么的？ 研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定 性，但在大量重复试验中结果又具有统计规 律性的现象。 2. 随机试验（E）：具有以下特点的试验称 为随机试验。 特点： （1）.可在相同条件下重复进行； （2）.试验可能结果不止一个,但能确定所有 的可能结果; （3）.一次试验之前无法确定具体是哪种结 果出现。 例１： E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表 示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现 的情况； E3: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的 次数; E4: 掷一颗骰子时出现的点数； E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤 次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测试其寿命; E7: 记录某地一昼夜的最高温度与最低温 度 。 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 §1 随机试验 自然界和社会上发生的现象是多种 多样的，有一类现象为确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。 向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到 100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变； . 还有一类为随机现象：在试验或 观察前无法预知出现什么结果。 抛一枚硬币结果可能正面(或反 面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都 不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数； . 统计规律性： 多次重复抛一枚硬币得到正面 朝上的结果大致有一半； 同一门大炮射击同一目标的着 弹点大致在目标附近且按照一 定的规律分布；
3.样本空间(S):随机试验E的所有可能结果 §2样本空间、随机事件 所组成的集合。样本空间的元素，即试验E的 每个结果，称为样本点(e)。 例2：给出EE,的样本空间 Su:(H,T): S2:(HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT, TTH,TTT): S3:(0,1,2,3 电话交换台一分钟内接到的呼 S4:（1,2,3,4,5,6; 唤次数的上限未知 S5:{0,1,2,3, 灯泡寿命上限未知 S6:(t≥0： x,y分别表示最低和最高温 S7:{(Ky川T,≤x≤y≤TJ。 度，T,和T分别表示该地区的 4.随机事件：试验E的样本空间S中满足某些 温度下限和上限。 条件的样本点所组成的集合，简称事件。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集。 事件是样本空间的子集。在每 次试验中，当且仅当这一子集 由一个样本点组成的单点集称为基本事件， 中的一个样本点出现时，称这 两个特殊事件： 事件发生。 必然事件：样本空间S 不可能事件：空集 事件的表示：文字表述或样本空间的子集 例3： (1)E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面 出现的情况： 事件A:“第一次出现的是H(正面)” (HHH,HHT,HTH,HTT) 事件B:“三次出现同一面”(HH,TTT) 事件C:“恰好出现一次正面” (HTT,THT,TTH)
3. 样本空间（S）：随机试验 E 的所有可能结果 所组成的集合。样本空间的元素，即试验 E 的 每个结果，称为样本点（e）。 例２：给出 E1~E7的样本空间： S1：｛H，T｝； S2：｛HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH，TTT｝； S3：｛0，1，2，3｝； S4：｛1，2，3，4，5，6｝； S5：｛0，1，2，3，.｝； S6：｛t| t 0 ｝； S7：｛(x,y)| 0 T1 T x y ｝。 4. 随机事件：试验 E 的样本空间 S 中满足某些 条件的样本点所组成的集合，简称事件。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 两个特殊事件: 必然事件：样本空间 S。 不可能事件：空集 。 事件的表示：文字表述或样本空间的子集。 例３： （1）E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面 出现的情况； 事件 A：“第一次出现的是 H(正面)” ｛HHH，HHT，HTH，HTT｝ 事件 B：“三次出现同一面” ｛HHH，TTT｝ 事件 C：“恰好出现一次正面” ｛HTT，THT，TTH｝ §2 样本空间、随机事件 电话交换台一分钟内接到的呼 唤次数的上限未知 灯泡寿命上限未知 x, y 分别表示最低和最高温 度， T0和T1 分别表示该地区的 温度下限和上限。 事件是样本空间的子集。在每 次试验中，当且仅当这一子集 中的一个样本点出现时，称这 一事件发生
(2)E6:在一批灯泡中任取一只，测试其寿 思考： 事件A与B是否会同时发生？ 命 事件B与C是否会同时发生？ 事件D1:“寿命小于1000小时” 为什么？ {t0≤t≤1000]】 同一样本空间中，不同的事件 (3)E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低 之间有一定的关系，如试验 当试验的结果是H 温度。 时，可以说事件A(至少出现 事件D2:“最高温度与最低温度相差10摄氏度” 个正面)和B(三次出现同 面)同时发生了：但事件B和 {(xy)y-x=10,T≤x≤y≤T} C(恰好出现一次正面)在任何 情况下均不可能同时发生。易 见，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这 种关系可以用集合之间的关系 来描述。 (课间休息) 5.事件之间的关系 设试验E的样本空间为S,事件A,B, 4(k=1,2,3)是S的子集。 (1)包含关系：AcB 事件A发生必然导致事件B发生， 若A=B,则称事件A与事件B 若ACB且BCA,则A=B。 相等。 (2)和事件：AUB={xx∈A或xeB 事件AUB称为事件A与事件B 当且仅当事件A,B中至少有一个发生时，事的和事件。 件AUB发生， 类似地，称日A为n个事件4,4，A,的 和事件。 (3)积事件：AOB={x|x∈A且x∈B 事件A⌒B称为事件A与事件B 的积车件 当且仅当事件A,B同时发生时，事件A⌒B 发生，简记为AB。 类似地，称0A为n个事件4，A,.,An的
（2）E6: 在一批灯泡中任取一只，测试其寿 命; 事件 D1：“寿命小于 1000 小时” ｛t| 0 t 1000 ｝ （3）E7: 记录某地一昼夜的最高温度与最低 温度 。 事件 D2：“最高温度与最低温度相差10摄氏度” ｛（x,y）|y-x=10, 0 T1 T x y ｝ 思考： 事件 A与B 是否会同时发生？ 事件 B 与C 是否会同时发生？ 为什么？ 同一样本空间中，不同的事件 之间有一定的关系，如试验 E2 ，当试验的结果是 HHH 时，可以说事件 A (至少出现一 个正面)和 B(三 次出现同一 面)同时发生了；但事件 B 和 C(恰好出现一次正面)在任何 情况下均不可能同时发生。易 见，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这 种关系可以用集合之间的关系 来描述。 (课间休息) 5. 事件之间的关系 设试验 E 的样本空间为 S，事件 A，B， A (k = 1,2,3,.) k 是 S 的子集。 （1）包含关系： A B 事件 A 发生必然导致事件 B 发生。 若 A B 且 B A ，则 A = B 。 （2）和事件： AB ={x | x A或xB} 当且仅当事件 A,B 中至少有一个发生时，事 件 A B 发生。 类似地，称 k n k A =1 为 n 个事件 A A An , , , 1 2 的 和事件。 （3）积事件： AB ={x | x A且xB} 当且仅当事件 A,B 同时发生时，事件 A B 发生，简记为 AB。 类似地，称 k n k A =1 为 n 个事件 A A An , , , 1 2 的 若 A = B ，则称事件 A 与事件 B 相等。 事件 A B 称为事件 A 与事件 B 的和事件。 事件 A B 称为事件 A 与事件 B 的积事件
积事件。 (4)差事件：A-={xx∈A且rEB卧 事件AB称为事件A与事件B的 差事件。 当且仅当事件A发生、B不发生时，事件A-B 发生。 (5)互斥的或互不相容的事件：AnB= 基本事件是两两互不相容的。 事件A与事件B不能同时发生。 (6)逆事件或对立事件： 称事件A与事件B互为对立事件 或互为逆事件。 AUB=S阻AnB= 对每次试验而言，事件A、B中必有一个发 生，且仅有一个发生。 事件A的对立事件记为A,A=S-A。 6.事件的运算 设试验E的样本空间为S,事件A,B, A4(k=1,2,3)是S的子集。 (I)交换律：AUB=BUA,AnB=BnA (2)结合律： AU(BUC)=(AUB)UC A0(BOC)=(40B)OC (3)分配律： A(BOC)=(AUB)0(AUC) A0(ByC)=(A0BV(AOC) (4)德·摩根律： 推广： AUB=AnB,AnB=AUB 84=Q4,Q4=84
积事件。 （4）差事件：A-B= {x | x A且xB} 当且仅当事件 A 发生、B 不发生时，事件 A-B 发生。 （5）互斥的或互不相容的事件：A B = 事件 A 与事件 B 不能同时发生。 （6）逆事件或对立事件： AB = S且AB = 对每次试验而言，事件 A、B 中必有一个发 生，且仅有一个发生。 事件 A 的对立事件记为 A ， A = S − A。 6. 事件的运算 设试验 E 的样本空间为 S，事件 A，B， A (k = 1,2,3,.) k 是 S 的子集。 （1）交换律：A B＝B A，A B＝B A （2）结合律： A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C （3）分配律： A (B C) = (A B) (AC) A (B C) = (A B) (AC) （4）德 ∙ 摩根律： A B = A B ， A B = A B 事件 A-B 称为事件 A 与事件 B 的 差事件。 基本事件是两两互不相容的。 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 或互为逆事件。 k n k k n k k n k k n k A A A A =1 =1 =1 =1 = ， = 推广：