沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量

对于 ==4，求解齐次线性方程组(A-4E)x=0200-3-31福10101-2-1111A-4E=020001-100行初等变换解得一个基础解系为4-3-3n:31-2A=312于是，属于==4的全部特征向量为kn（0)沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 对于 1 2     4 ，求解齐次线性方程组(A 4E)x  0 解得一个基础解系为 1 1 1 1          于是，属于 1 2     4 的全部特征向量为 1 1 k 1 （k 0) 0 3 3 2 1 1 1 0 1 4 2 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0                                         A E = 4 3 3 2 3 1 2 1 3           A 行初等变换

对于 =2 求解齐次线性方程组(A-2E)x=02-3-32-3011-210011A-2E=120000（)4-3-331-2A=-1n2 =解得一个基础解系为3211于是，属于=2的全部特征向量为k,nz(k,≠0)沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 对于 3   2，求解齐次线性方程组(A2E)x0 解得一个基础解系为 2 0 1 1          于是，属于 3   2 的全部特征向量为 2 2 2 k  (k  0) 2 3 3 2 3 3 1 0 0 2 2 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0                                   A E 4 3 3 2 3 1 2 1 3           A

111求A的特征值与的特征向量例3设A=1所有元素1111均为1解A 的特征方程为[1 - 21111111-元= 23(α- 4)= 01111-21111-元所以A的特征值为===0,=4沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例3 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        A ，求A的特征值与的特征向量. A 的特征方程为 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 4) 0 1 1 1 1 1 1 1 1                 A E 所以 A 的特征值为 1 2 3 4       0,  4 解 所 有 元 素 均为1

求解齐次线性方程组(A-0E)x =0对于===0,(111110000T1A-0E=70000110000(12解得一个基础解系为基础解系不唯一，进而(-1)-1(-1)属于某一特001征值的线性n :,n2=,N 010无关的特征00(1向量不唯一于是，属于===0的全部特征向量为k, +k,2 +k3(k,k,k不全为零）.沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 对于 1 2 3       0，求解齐次线性方程组(A 0E)x  0 解得一个基础解系为 1 2 3 1 1 1 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1                                           于是，属于 1 2 3       0 的全部特征向量为 1 1 2 2 3 3 k  k   k  （ 不全为零）. 1 2 3 k ,k ,k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0                   A E = 基础解系不 唯一，进而 属于某一特 征值的线性 无关的特征 向量不唯一

对于元4=4,习求解齐次线性方程组(A-4E)x = 0111111-3)1030-1)140010011-3-4-1A-4E=110040011-3-4-1010000(11000-3(1)解得一个基础解系为1n4:1(1)于是，属于=4的全部特征向量为kan4(k 0)沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 对于 4   4，求解齐次线性方程组(A 4E)x  0 解得一个基础解系为 4 1 1 1 1         于是，属于 4   4的全部特征向量为 4 4 4 k  (k  0) 3 1 1 1 1 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1 1 0 4 0 4 0 1 0 1 4 1 1 3 1 0 0 4 4 0 0 1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0                                                   A E