沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量

三、特征值与特征向量的性质性质1设n阶矩阵A=(a)的特征值为,，,，，则(1) ^ +2 +..+2, =ai+an +..+am =tr(A)(tr(A)称为A的迹）;(2)22 ... , =A推论矩阵A可逆的充要条件是A的特征值都不为零这是为什么呢？沈阳师范大学《线性代数》

《线性代数》课题组 性质1 设n阶矩阵 A =  aij  的特征值为 1 2 , , ,    n ，则 （1） 12 n a11a22 ann trA （tr A 称为A的迹）； （2） 12n  A 推论 矩阵A可逆的充要条件是A的特征值都不为零. 这是为什 么呢？ 三、特征值与特征向量的性质

21例1 矩阵A=的特征值为==3(-2 5二3+3=+显然α+α22=1+5[A| = 99=3x3=2·21例2的特征值为===0,4=4A:111显然tr(A)=1+1+1+1= 4+0+0+0=+++[A|= 0一=0=4×0×0×0=元42-2元沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例1 矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值为 1 2     3 显然 11 22 a  a 1 5 2 1 ＝ 3 3     例2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        A 的特征值为 1 2 3 4       0,  4 显然 tr(A) 1111 4 3 2 1 ＝ 4  0  0  0         A  9 2 1 ＝ 9  33    A  0 4 3 2 1 ＝ 0  4000     

例3设为方阵A的特征值，证明22为A2的特征值推广一下吧证由于 An=n，所以An = A(An) = a(An)= a°n所以?是A的特征值，n仍为A的属于特征值的特征向量。性质2若几是矩阵A的特征值，n是A的属于特征值入新的特征向量，f(x)是多项式，则f(a)为矩阵多项式f(A)的特征值，n 仍为f(A)的属于特征值f(a)的特征向量，沈阳师地大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例3 2 2 证 由于 A =  ，所以 2 2 A   A(A)  (A)    所以 是 的特征值， 仍为 的属于特征值 的特征向量。 2  2 A  2 A 2  推广一下吧 性质2 若 是矩阵 的特征值， 是 的属于特征值 的特征向量， 是多项式，则 为矩阵多项式 的特征值， 仍为 的属于特征值 的特征向量. A A   f () f (A)  A  A  f (x)  f (A) f ()

例4已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，3，矩阵B=A-3A？试求B的特征值和B解令f(A)=B=A-3A2,则 f()=-32，又因为A的特征值为-1，1，3，故B的特征值为f(-1) =(-1)-3(-1)2 = -4f(1) =1-3.12 = -2f(3)= 3-3.32 = -24从而 |B=(-4)·(-2)·(-24) =-192沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例4 已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，3，矩阵 2 B  A 3A B 解 令 2 f (A)  B  A3A ,则 2 f ()    3 ，又因为 A的特征值为-1，1，3，故B的特征值为 2 f (1)  (1) 3(1)  4 2 f (1) 131  2 2 f (3)  333  24 试求B的特征值和 . 从而 B  (4)(2)(24)  192

0如何证明呢？相关结论O0矩阵A-1A*AP-'APf(A)[4]特征值元α-1f(a)元元特征向量nnnp-'nn沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 相关结论 矩阵 特征值 特征向量     1 P   A f ( A) 1 A * A 1 P P  A  f ( ) 1   A  如何证明呢？