沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量

特征值与特征向量的求法二1.理论依据(1)为A的特征值 A-E=0.(2）n为A的对应于2特征向量 (A-E) n=0.2.步骤计算A-E求[A-αE|=0的根1求(A-^E)x = 0的基础解系沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 (1) 0为A的特征值  |A–0E| = 0. (2) 为A的对应于0特征向量  (A–0E)  = 0. 1 .理论依据 2. 步骤 计算| A–E| 求| A–E| = 0的根 求(A–E)x = 0的基础解系 二、特征值与特征向量的求法

思考22的特征值为,,…,对角矩阵Λ=anla2a22aan的特征值为11,a22,",an上三角矩阵ann沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 思考 对角矩阵 1 2  n            的特征值为_ 上三角矩阵 11 12 1 22 2     n n nn a a a a a a       的特征值为_ 1 2 , ,,    n 11 22 , ,, nn a a a

求特征值就是求一元n次方程的根：求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解2例1求矩阵A=的特征值与特征向量-25解A的特征方程为1-222-6+9=(-3)= 0-25-所以A的特征值为元==3即求特征方程的根沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解 相应的齐次线性方程组的非零解. 例1 求矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值与特征向量. A 的特征方程为 2 2 1 2 6 9 ( 3) 0 2 5                  A E A 的特征值为 1 2     3 解 所以 即求特征方程的根

21A5-2解齐次线性方程组(A-3E)x=0(-22)-1A-3E=2-2001一个基础解系为n于是，属于==3的全部特征向量为k≠0即求齐次线性方程组的全部非零解沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 解齐次线性方程组 2 2 1 1 3 2 2 0 0                  A E = 一个基础解系为 1 1         于是，属于 的全部特征向量为 （ ）. 1 2     3 k k  0 (A 3E)x  0 1 2 2 5        A = 即求齐次线性方程组 的全部非零解

4-3)-331例2 求矩阵A=-2的特征值与特征向量(213解A的特征方程为14-元-3-3A-E-23-元1=(4-)(2 - 2)=0=213-元所以A 的特征值为==4,=2沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例2 求矩阵 4 3 3 2 3 1 2 1 3           A 的特征值与特征向量. A的特征方程为 2 4 3 3 2 3 1 (4 ) (2 ) 0 2 1 3                   A E 所以A 的特征值为 1 2 3     4,  2 解