线性代数（同济四版）习题参考答案75所以[A-2E|=0或|A-E|=0则1或2是矩阵A的特征值但是这样只是说明了1或2是矩阵A的特征值，矩阵A是否还有别的特征值没有得到证明，这就不能下结论说“A的特征值只能取1或2"9.设A为正交阵，且|A|=-1,证明入=-1是A的特征值证明：即需证明入=-1满足特征方程|A-入E=0,即A+E=0.因为[A + E|=|A + ATA|(A为正交阵）=|E+ATIA|=-|AT+E|([A| = -1)= - [(A +E)T=-{A+E],所以2[A+E|=0,即[A+E|=0.得证入=-1是A的特征值10。设入≠0是m阶矩阵AmxnBnxm的特征值，证明入也是n阶矩阵BA的特征值证明：设p是矩阵AmxnBnxm的对应于入的特征向量，则(5.3)(AB)p = ^p.上式两边同时左乘B得B(AB)p=B入p,即(BA)(Bp)=^(Bp)下面证明Bp是非零的.因为，假如Bp=0,则(5.3)式中左边（AB)p=A(Bp)=0;但是入≠0,且特征向量p是非零向量，从而>p≠0.假设不成立。得证入也是n阶矩阵BA的特征值注意：特征向量是非零的11，已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求A3-5A2+7A解：（模仿P.122例9解题）设入是矩阵A的特征值，记(A)=A3-5A2+7A，则()=^3-5)2+7入是β(A)的特征值.又((1) = 3, (2)= 2, (3) = 3,知(A)的特征值为3.2,3.所以A3-5A2+7A|=3×2×3=1812.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3，求A*+3A+2E解：因A的特征值全不为0,知A可逆，故A*=A|A-1.而[A|=入1>2入3=-6,所以A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.6把上式记作(A),有(J)=+3)+2，故(A)的特征值为((1) = -1, ((2) = 5, (-3) = -5,于是A*+3A +2E|=(-1) ·5· (-5) = 25
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 75 所以 |A − 2E| = 0 或 |A − E| = 0, 则 1 或 2 是矩阵 A 的特征值. 但是这样只是说明了 1 或 2 是矩阵 A 的特征值, 矩阵 A 是否还有别的特征值没有得到证明, 这就不 能下结论说 “A 的特征值只. 能. 取. 1 或 2”. 9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值. 证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE| = 0, 即 |A + E| = 0. 因为 |A + E| = ¯ ¯A + ATA ¯ ¯ (A 为正交阵) = ¯ ¯E + AT ¯ ¯ |A| = − ¯ ¯AT + E ¯ ¯ (|A| = −1) = − ¯ ¯(A + E) T ¯ ¯ = − |A + E| , 所以 2 |A + E| = 0, 即 |A + E| = 0. 得证 λ = −1 是 A 的特征值. 10 . 设 λ 6= 0 是 m 阶矩阵 Am×nBn×m 的特征值, 证明 λ 也是 n 阶矩阵 BA 的特征值. 证明: 设 p 是矩阵 Am×nBn×m 的对应于 λ 的特征向量, 则 (AB)p = λp. (5.3) 上式两边同时左乘 B 得 B(AB)p = Bλp, 即 (BA)(Bp) = λ(Bp). 下面证明 Bp 是非零的. 因为, 假如 Bp = 0, 则 (5.3) 式中左边 (AB)p = A(Bp) = 0; 但是 λ 6= 0, 且 特征向量 p 是非零向量, 从而 λp 6= 0. 假设不成立. 得证 λ 也是 n 阶矩阵 BA 的特征值. 注意: 特征向量是非零的. 11 . 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, 3, 求 ¯ ¯A3 − 5A2 + 7A ¯ ¯ . 解: (模仿 P.122 例 9 解题.) 设 λ 是矩阵 A 的特征值, 记 ϕ(A) = A3 −5A2 + 7A, 则 ϕ(λ) = λ 3 −5λ 2 + 7λ 是 ϕ(A) 的特征值. 又 ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 3, 知 ϕ(A) 的特征值为 3, 2, 3, 所以 ¯ ¯A3 − 5A2 + 7A ¯ ¯ = 3 × 2 × 3 = 18. 12 . 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, −3, 求 |A∗ + 3A + 2E|. 解: 因 A 的特征值全不为 0, 知 A 可逆, 故 A∗ = |A| A−1 . 而 |A| = λ1λ2λ3 = −6, 所以 A∗ + 3A + 2E = −6A−1 + 3A + 2E. 把上式记作 ϕ(A), 有 ϕ(λ) = − 6 λ + 3λ + 2, 故 ϕ(A) 的特征值为 ϕ(1) = −1, ϕ(2) = 5, ϕ(−3) = −5, 于是 |A∗ + 3A + 2E| = (−1) · 5 · (−5) = 25
76第五章相似矩阵及二次型另解.注意到|A/=-6，先计算|A|A*+3A+2E，即-6E+3A2+2A易得-6E+3A2+2A的特征值为-1,10,15,所以6E + 3A2 + 2A= (1) ·10-15 = 150,从而得|A*+3A+2E=25.13，设A,B都是n阶方阵，且A可逆，证明AB与BA相似证明：由A可逆知A-1(AB)A= (A-"A)(BA) = BA,则AB与BA相似20114设矩阵A=31可相似对角化，求工r405解：解题依据：定理4(P.125)，“n阶矩阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量2-入01[A-^E|=31-入H405-入入1=(1 --(入- 1)2(入 - 6),X45-入得 入1 = 6, 入2 = 入3 = 1要使3阶矩阵A能对角化，则需A有3个线性无关的特征向量对应单根入1=1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，所以，要使矩阵A能对角化，需对应重根入2=入3=1有2个线性无关的特征向量，即方程（A-E)=0有2个线性无关的解。由P.98定理7，即R(A - E) = 1.由C:8 -330E=1-10得r = 3.因此，当=3时，矩阵A能对角化-12215.已知P是矩阵A：的一个特征向量，53a=-1-1b-2(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;(2)问A能不能相似对角化？并说明理由解：（1)设特征向量p所对应的特征值为入，则Ap=入p，即2()-(-() ()5aAp:-1n
76 第五章 相似矩阵及二次型 另解. 注意到 |A| = −6, 先计算 |A| |A∗ + 3A + 2E|, 即 ¯ ¯−6E + 3A2 + 2A ¯ ¯ . 易得 −6E + 3A2 + 2A 的 特征值为 −1, 10, 15, 所以 ¯ ¯−6E + 3A2 + 2A ¯ ¯ = (−1) · 10 · 15 = −150, 从而得 |A∗ + 3A + 2E| = 25. 13 . 设 A, B 都是 n 阶方阵, 且 A 可逆, 证明 AB 与 BA 相似. 证明: 由 A 可逆知 A−1 (AB)A = (A−1A)(BA) = BA, 则 AB 与 BA 相似. 14 . 设矩阵 A = 2 0 1 3 1 x 4 0 5 可相似对角化, 求 x. 解: 解题依据: 定理 4 (P.125), “n 阶矩阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量”. |A − λE| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − λ 0 1 3 1 − λ x 4 0 5 − λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(1 − λ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − λ 1 4 5 − λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −(λ − 1)2 (λ − 6), 得 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 1. 要使 3 阶矩阵 A 能对角化, 则需 A 有 3 个线性无关的特征向量. 对应单根 λ1 = 1, 可求得线性无关的特征向量恰有 1 个, 所以, 要使矩阵 A 能对角化, 需对应重根 λ2 = λ3 = 1 有 2 个线性无关的特征向量, 即方程 (A − E)x = 0 有 2 个线性无关的解. 由 P.98 定理 7, 即 R(A − E) = 1. 由 A − E = 1 0 1 3 0 x 4 0 4 ^ 1 0 1 0 0 x − 3 0 0 0 , 得 x = 3. 因此, 当 x = 3 时, 矩阵 A 能对角化. 15 . 已知 p = 1 1 −1 是矩阵 A = 2 −1 2 5 a 3 −1 b −2 的一个特征向量. (1) 求参数 a, b 及特征向量 p 所对应的特征值; (2) 问 A 能不能相似对角化? 并说明理由. 解: (1) 设特征向量 p 所对应的特征值为 λ, 则 Ap = λp, 即 Ap = 2 −1 2 5 a 3 −1 b −2 1 1 −1 = −1 2 + a 1 + b = λ 1 1 −1
77线性代数（同济四版）习题参考答案得入= -1,b=0.a=--3.(2) 由22-入-153= -( + 1)3,[A-\E|=-3->-10-2-入得入1 = 2 = 入3 = -1.要使3阶矩阵A能够对角化，需使重根入1=入2=入3=-1对应3个线性无关的特征向量，但这是不可能的.因为3元齐次方程（A+E）a=0的线性无关解的个数为n-r=3-R(A+E)而这里A+E≠O.即R(A+E)≥1.所以方程（A+E)=0的线性无关解的个数不可能为3因此，矩阵A不能相似对角化.16，试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：022-22-2(1)-21-2(2)25-400 -2-2 -4 5解：(1) 由2-入-20[A->E|=-21-)-2= (1 - 入)() - 4)() + 2),0-2 -)得矩阵[A|的特征值为入1=-2,入2=1,入3=4.当 入1 = -2 时, 由4-2-233-20-2a.解得()()单位特征向量可取为P1=02当入2=1时，由0-2-22n-解得=k
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 77 得 λ = −1, a = −3, b = 0. (2) 由 |A − λE| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − λ −1 2 5 −3 − λ 3 −1 0 −2 − λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −(λ + 1)3 , 得 λ1 = λ2 = λ3 = −1. 要使 3 阶矩阵 A 能够对角化, 需使重根 λ1 = λ2 = λ3 = −1 对应 3 个线性无关的特征向量, 但这是不可能 的. 因为 3 元齐次方程 (A + E)x = 0 的线性无关解的个数为 n − r = 3 − R(A + E), 而这里 A + E 6= O, 即 R(A + E) > 1, 所以, 方程 (A + E)x = 0 的线性无关解的个数不可能为 3. 因此, 矩阵 A 不能相似对角化. 16 . 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1) 2 −2 0 −2 1 −2 0 −2 0 ; (2) 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 . 解: (1) 由 |A − λE| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − λ −2 0 −2 1 − λ −2 0 −2 −λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (1 − λ)(λ − 4)(λ + 2), 得矩阵 |A| 的特征值为 λ1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 4. 当 λ1 = −2 时, 由 4 −2 0 −2 3 −2 0 −2 2 x1 x2 x3 = 0, 解得 x1 x2 x3 = k1 1 2 2 . 单位特征向量可取为 p1 = 1 3 1 2 2 . 当 λ2 = 1 时, 由 1 −2 0 −2 0 −2 0 −2 −1 x1 x2 x3 = 0, 解得 x1 x2 x3 = k2 2 1 −2