山东农大号 主讲人：本衣堂 §8.2第二节数量积向量积*混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积 §8.2 第二节数量积向量积*混合积
本堂 一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F‖cos0 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M2 1a6cosp记作 记作 ab W=F.3 为a与b的数量积（点积）
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a, b s
当a≠0时，b在d上的投影为 |万cos0记作Pri4万 B 故 ab=a Prja b a 同理，当b≠0时： a.b=bPrjga 2.性质 a≠0，b≠0 (1)a.a=ap 则a.b=0 (2),b为两个非零向量，则有 a.b=0aLb (d,= 2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba b Prj a b = a ba Prj (1) a a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0
1-/ 苏本堂 3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2)结合律(，u为实数) (d)-b=a:(2b=(db) (a+) (a)(ub)=(a.(ub) =2u(a.b) Prje a Prje b (3)分配律(d+b)d=d+b· Prje(a+B) 事实上，当c=可时，显然成立，当≠0时 (@+b)c=cPrjc(a+b)=G|(Prje@+PrjcB) =Prjaa+c Prjab=a.c+b.c
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) = ( a ( b) ) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a bc a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj ac = c Prj bc + c Prj = a c + b c Prj (a b) c +
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2 +b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B a c=(d-b(d-)=d.d+b.b-2a:6 =|ap+|B2-2allBlcos0 a=a,b=b,c=o c2 a2+b2-2abcos0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a − b)(a − b)= a a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c