山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节一阶线性微分方程 1.一阶线性微分方程 2.伯努利方程
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 一阶线性微分方程 2.伯努利方程 1.一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Q(x)=0,称为齐次方程； 若Q(x)丰0，称为非齐次方程 考察下列方程是否是（或能否化为）线性方程？ 0:2密y→密0，是齐议线拉方走 d (2)3x2+5x-y-0,→y=3x2+5x,是非齐次线性方程 (3)y'+cosx=e-sin x是非齐次线性方程， ④)-=10+，不是线性方程. dx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程. 称为齐次方程 ; 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ y=3x 是非齐次线性方程 2+5x 是非齐次线性方程 (2)3x 2+5x−y=0 (3)y+ycos x=e −sin x (4) x y dx dy + =10 不是线性方程 (1) y dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy 是齐次线性方程 (4) x y dx dy + =10 不是线性方程
1.解齐次方程 dy+P(x)y=O d 分离变量 dy =-P(x)dx y 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-fP(x)dx 例1火方程：2密少的通解 解原方程可变为少_1 ax-2y=0, 这是齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为 y=Cel=Cem-2-C(x-2)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( ) 0 d d + P x y = x y 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 例 1 求方程 y dx dy (x−2) = 的通解 解 原方程可变为 0 2 1 = − − y dx x dy 这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x
山东农业大 2.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) d 用常数变易法：作变换(x)=(x)eP(x)dx,则 WeP(eP()e-(x) du 即 drs 两端积分应带夜提通解 u=e(x)e 故原方程的通解y=ePa[)e“d+C 即 y=Ced[Qx)e 齐次方程通解 非齐次方程特解
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + = + − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得
例2.解方程 dy 2v =(x+1) 、 dx x+ 解：方法一先解 dy_2y=0,即 dy2dx dx x+1 y x+l 积分得lny=2lnx+1+lnC,即y=C(x+I)2 用常数变易法求特解.令y=u(x·(x+1)2,则 y'=W.(x+1)2+2u-(x+1) 代入非齐次方程得'=(x+)为 解得 u-3x+)+C 故原方程通解为"=+[x+3+C
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 解方程 解: 方法一先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为