东农大周 人术 第三节定积分在物理学上的应用 变力沿直线所做的功 二 水压力 三 引力
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 定积分在物理学上的应用 一 变力沿直线所做的功 二 水压力 三 引力
一、变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到 x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功 在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元 素为 dw=F(x)dx xx+dx b x 因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为 w =[F(x)dx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 = b a W F(x)dx
例1.在一个带+q电荷所产生的电场作用下，一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功 解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为 F=k +9.+1 则功的元素为dW= o a rridr h r 所求功为 w=g-匈[8日为 说明：电场在r=a处的电势为。gdr kq a
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a r r + dr b r +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为 = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下
方本堂 例2.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从 点α处移动到点b处（如图），求移动过程中气体压力所 作的功 解：建立坐标系如图.由波义耳一马略特定律知压强 kk p与体积V成反比，即p= rS' 故作用在活塞上的 力为 F=p.S=k 功元素为 dw=Fdx =*dx o axx+dx b 所求功为 形-小经dr=Anx刘E-kng
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 解：建立坐标系如图.在任一小区间 [x,x+dx]上的一薄层水的重力为 g·p:π32dx(KN 5m 这薄层水吸出桶外所作的功（功元素）为 x+dx dW=9πg pxdx 3m 故所求功为 X w=[3 9xgpxdx-9x Bp20 5 设水的密 度为p =112.5πgp(K)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x, x + dx] 上的一薄层水的重力为 g 3 dx 2 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g x dx 故所求功为 = 5 0 W 9 g x d x = 9 g 2 2 x =112.5 g ( KJ ) 设水的密 0 度为 5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m